[Risolto] Sistemi

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$\small \begin{Bmatrix}
3x+4y-z&=&5\\
2x+4z&=&-2\\
x-y+3z&=&-3\\
\end{Bmatrix}$

semplifica la 2° equazione dividendo per 2:

$\small \begin{Bmatrix}
3x+4y-z&=&5\\
x+2z&=&-1\\
x-y+3z&=&-3\\
\end{Bmatrix}$

sdoppia il sistema in due sistemi a due equazioni come segue:

1°$\small \begin{Bmatrix}
3x+4y-z&=&5\\
x-y+3z&=&-3\\
\end{Bmatrix}$

2° $\small \begin{Bmatrix}
x+2z&=&-1\\
x-y+3z&=&-3\\
\end{Bmatrix}$

operiamo sul 1° sistema moltiplicando per -3 la 2° equazione per eliminare la "x":

1° $\small \begin{Bmatrix}
3x+4y-z&=&5\\
-3x+3y-9z&=&9\\\hline
\quad //+7y-10z&=&14\\
\end{Bmatrix}$

operiamo sul 2° sistema sottraendo membro a membro per eliminare la "x", inserendo un fittizio 0y per poter calcolare:

2° $\small \begin{Bmatrix}
x+0y+2z&=&-1\\
x-y+3z&=&-3\\\hline
//+y-z&=&2\\
\end{Bmatrix}$

imposta un sistema di due equazioni a due incognite con i risultati:

$\small \begin{Bmatrix}
7y-10z&=&14\\
y-z&=&2\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
7y-10z&=&14\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
7(2+z)-10z&=&14\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
14+7z-10z&=&14\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
-3z&=&14-14\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
-3z&=&0\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
\dfrac{\cancel{-3}z}{\cancel{-3}}&=&\dfrac{0}{-3}\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
z&=&0\\
y&=&2+z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
z&=&0\\
y&=&2+0\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
z&=&0\\
y&=&2\\
\end{Bmatrix}$

ora troviamo la "x" sostituendo le due incognite trovate nella 3° equazione originaria:

$\small x-y+3z=-3$

$\small x-2+3·0=-3$

$\small x-2+0=-3$

$\small x=-3+2$

$\small x= -1$

risultati:

$\small x=-1; y= 2; z= 0$

z = 3x+4y-5

{x-y+3(3x+4y-5) = -3

{2x+4(3x+4y-5) = -2

{2x+12x+16y-20 = -2

{x+y+9x+12y-15 = -3

(*){14x+16y = 18

{10x+12y = 12....la si moltiplica per 1,4 e la si sottrae dalla (*)

0,6y = 1,20

y = 2,0

x = (12-22)/10 = -1,0 

z = -3+8-5 = 0