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Livello 1
Ciao e benvenuto. Cosa non hai capito dell’esercizio?
OK. Foto dritta!
{y = √(16 - x^2)
{y = k - 3·x
{x ≥ 0
La funzione definita dalla prima equazione è una semicirconferenza positiva con centro in O(0,0) e raggio r =4. Il problema richiede di cercare le intersezioni fra la generica retta appartenente al fascio di rette improprio definito dalla seconda equazione. Il vincolo è rappresentato dalla 3^ condizione. Quindi devi ricercare le intersezioni che si hanno in corrispondenza dei valori di K.
Siccome k rappresenta l'ordinata all'origine , devi partire da k=4 ed andare per valori ad esso superiori.
E' facile riconoscere che: per k con 4<=k<12 si ha una sola soluzione, cioè la retta del fascio taglia la curva in corrispondenza di un solo punto:
Poi, per valori di k superiori 2 soluzioni sino ad arrivare alla retta tangente a cui corrisponde un solo valore di k
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Genius II
@lucianop in generale un po’ tutto, in quanto il professore nonostante avesse spiegato il metodo, non mi è molto chiaro, quindi sto riscontrando molte difficoltà. Le sarei grato se riuscisse a spiegarmelo, in modo da poterlo confrontare con quello del prof 🙂
Le mie vertebre cervicali hanno quasi 83 anni e sono un po' rigide; il mio browser apre le immagini, ma non le ruota: perciò non riesco leggere il tuo allegato messo di traverso.
Soprattutto: tocca a te rendere leggibile la tua domanda, non a me di arrabattarmi per leggerla.
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In segno di benvenuto per questa tua prima domanda mi arrabatto un po', ma per le prossime DEVI TRASCRIVERE E METTERE FOTO DRITTE DI UN SOLO ESERCIZIO, non di un'intera pagina scarabocchiata messa di traverso e sfocatissima.
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Discutere il sistema
* (y = √(16 - x^2)) & (y + 3*x = k) & (x >= 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 16) & (y >= 0) & (y = k - 3*x) & (x >= 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 16) & (y = k - 3*x) & (x >= 0) & (y >= 0)
equivale a determinare, limitatamente al primo quadrante assi compresi (x >= 0 & y >= 0) e in funzione del parametro reale k, le intersezioni fra
* il fascio di parallele r(k) ≡ y = k - 3*x
* la circonferenza fissa Γ ≡ x^2 + y^2 = 16
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La distanza di una r(k) dall'origine è
* d(k) = k/√10 = 4 ≡ k = 4*√10 ~= 12.649
che è eguale al raggio per l'unica retta t tangente Γ
* t ≡ r(4*√10) ≡ y = 4*√10 - 3*x
che ha un punto di contatto doppio.
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Le r(k) per gli estremi del quarto di Γ nel primo quadrante sono
1) per (0, 4): y = 4 - 3*x (secante in un solo punto)
2) per (4, 0): y = 12 - 3*x (secante in due punti)
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CONCLUSIONI
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I valori limite del parametro sono 4 e 4*√10, con un discrimine per k = 12.
I punti comuni nel primo quadrante sono come segue.
* k < 4: zero punti comuni.
* k = 4: uno semplice (0, 4).
* 4 < k < 12: uno semplice ((3*k - √(160 - k^2))/10, (k + 3*√(160 - k^2))/10).
* 12 <= k < 4*√10: due semplici ((3*k ± √(160 - k^2))/10, (k ∓ 3*√(160 - k^2))/10).
* k = 4*√10: uno doppio (6*√(2/5), 2*√(2/5)).
* k > 4*√10: zero punti comuni nell'intero piano Oxy.
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Genius I
@exprof mi scusi tanto, ma come ben sa è stata la mia prima domanda, ha ragione dovrò fare un po’ Di pratica. La ringrazio e mi scuso per il tempo che le ho rubato.