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[Risolto] sistema disequazioni di secondo grado e problema di geometria

  

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Ciao!

$$\begin{cases} x^2 \geq \frac32 - \frac52 x \\ \frac{1}{x} > x \end{cases} $$

$\begin{cases} \frac22 x^2 \geq \frac32 - \frac52 x \\ \frac{1}{x} > x \cdot \frac{x}{x} \end{cases} $

$\begin{cases} 2x^2 \geq 3 - 5 x \\ \frac{1-x^2}{x} > 0 \end{cases} $

$\begin{cases} 2x^2 +5x-3 \geq 0 \\ \frac{1-x^2}{x} > 0 \end{cases} $

Prima disequazione: $\Delta = 25-4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 $

Le soluzioni dell'equazione associata sono: $x_{1,2}  = \frac{-5 \pm 7}{4} $

e la soluzioni della disequazione è: $ x \leq -3 \vee x \geq \frac12 $

Seconda disequazione: studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$N > 0 \Rightarrow 1-x^2 > 0 \Rightarrow -1 < x < 1 $

$D > 0 x > 0$

Quindi dalla tabella dei segni, la soluzione di questa disequazione è:$ x < -1 \vee 0 < x < 1 $ 

Quindi il sistema è:

$\begin{cases} x \leq -3 \vee x \geq \frac12  \\ x < -1 \vee 0 < x < 1 \end{cases} $

Facendo l'intersezione delle soluzion, quindi: 

$ x \leq -3 \vee \frac12 \leq x < 1 $

Problema:

Dal teorema di pitagora: $i^2 = c_1^2+c_2^2$

e l'area è $c_1 \cdot c_2 $

Dai dati sappiamo che: $c_1 \cdot c_2 = 9a^2$ e 

$i = 3a \sqrt{5} $

Chiamiamo $x = c_1$, possiamo scrivere che

$ c_2 = \frac{9a^2}{x}$

e $(3a \sqrt{5})^2 = x^2+(\frac{9a^2}{x})^2$

quindi

$ 9a^2\cdot 5 = x^2+\frac{81a^4}{x^2} $

$ x^2 \cdot 45 a ^2 = x^4 + 81 a^4 $

$x^4 - x^2 \cdot 45 a ^2+ 81 a^4 = 0$

Sostituiamo $t = x^2$:

$t^2 - t \cdot 45 a ^2+ 81 a^4 = 0$

che è un'equazione di secondo grado in $t$, con soluzioni:

$\Delta = ( 45 a ^2)^2-4(1)(81 a^4 ) = 2025a^4-324a^4 =1701a^4$

$t_{1,2} = \frac{+45a^2 \pm 9 a^2 \sqrt{21}}{2} $

$ t _{1,2} = 9a^2 ( \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}) $

Per ottenere la soluzione in $x$, dobbiamo fare un ulteriore radicale, usando la formula dei radicali doppi:

$x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{9a^2 ( \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2})} $

$x_{1,2,3,4} = \pm 3a \sqrt{ \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} } $

$x_{1,2,3,4} = \pm 3a \sqrt{ \frac52 \pm \sqrt{\frac{21}{4}} } $

Usando la regola dei radicali doppi:

$\sqrt{ a\pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Nel nostro caso $ a = \frac52$ e $b = \frac{21}{4}$

Ti invito a fare i conti e verificare che:

$x_{1,2,3,4} = \pm 3a \sqrt{ \frac52 \pm \sqrt{\frac{21}{4}} } = \pm 3a (\frac32 \pm \frac12) = \pm 6 $ e $ \pm 3$

Ovviamente quelli negativi non hanno senso, essendo misure di lati, dunque

$ x = 3a \vee x = 6a$

 

@pazzouomo grazie mille 

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grazie pazzouomo

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