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[Risolto] Sistema di quarto grado

  

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Risolvi il sistema:

x^2-y^2=11

xy=2√(6)

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Ciao.

Scrivi la seconda come $y=\frac{2\sqrt{6}}{x}$ e sostituisci nella prima:

$x^2-(\frac{2\sqrt{6}}{x})^2=11$

$x^2-\frac{24}{x^2}=11$

$x^4-11x^2- 24=0$

adesso sostituisci $t=x^2$

e ti viene un'eq. di secondo grado in $t$:

$t^2-11t - 24=0$

$\Delta=b^2-4ac=121+96=217$

$t_1=\frac{11+\sqrt{217}}{2}$ è l'unica soluzione positiva.

Mi fermo qui e ti lascio trovare $x_1$ e $x_2$ con un dubbio:

sei sicuro del testo? non è che per caso la prima equazione è $x^2+y^2=11$?

 

@sebastiano, sì sì, errore mio. È x^2+y^2=11

@sebastiano, è un sistema reciproco.

@Giuseppe23. te l'ho chiesto perchè con il "+" il delta invece di 217 viene 25, che è un quadrato perfetto 🙂

@sebastiano, sì, ma la professoressa ci ha spiegato che si possono risolvere anche applicando le relazioni tra soluzioni e coefficienti, in modo tale che xy=2*√(6) rimanga così, mentre l'altra diventi (x+y)^2=11+4*√(6)

 

@Giuseppe23 certo, questo è semplicemente un altro modo di risolvere il sistema; purtroppo non essendo nella mente della tua professoressa e non sapendo cosa vi ha spiegato, l'ho risolto nel modo più "lineare", ovvero per sostituzione. nel modo che ti ha spiegato la tua prof devi pensare a sommare la prima equazione più 2 volta la seconda e accorgerti che al primo membro hai un quadrato perfetto. Non è difficile, ma non tutti lo vedono 🙂

@sebastiano, ma 11+4*√(6) non è un quadrato perfetto.

@Giuseppe23 ma $x^2+2xy+y^2$ si, ed è quello che devi notare per poter scrivere $(x+y)^2$ al primo membro. Sei sicuro di avere capito per bene cosa ti ha spiegato la professoressa?

@sebastiano, sì, ora ho capito. Era molto lungo il procedimento.






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