[Risolto] Sistema di generatori algebra lineare

N vettori generatori vuol dire che generano ogni possibile vettore di lunghezza N.
TRE vettori generatori vuol dire che si genera uno spazio tridimensionale.
Non c'è perdita di generalità a considerare i generatori
* X = (1, 0, 0), Y = (0, 1, 0), Z = (0, 0, 1)
perché qualunque altra terna linearmente indipendente si può (con qualche contorcimento) ricondurre a questa.
Un qualsiasi vettore P a tre componenti
* P = (p, q, r)
si può esprimere come combinazione lineare dei generatori
* P = p*X + q*Y + r*Z
così dimostrando che qualsiasi M-pla di vettori che contenga una N-pla di generatori è necessariamente fatta di vettori linearmente dipendenti.
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Sostituendo, sviluppando e poi projettando sulle tre dimensioni si ha un sistema di equazioni omogenee.
* P = p*X + q*Y + r*Z ≡
≡ p*X + q*Y + r*Z - P = 0 ≡
≡ p*(1, 0, 0) + q*(0, 1, 0) + r*(0, 0, 1) - (p, q, r) = 0 ≡
≡ (p*1, p*0, p*0) + (q*0, q*1, q*0) + (r*0, r*0, r*1) - (p, q, r) = 0 ≡
≡ (p*1 - p = 0) & (q*1 - q = 0) & (r*1 - r = 0)
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NOTA: il sostantivo "equazione" è femminile, "sistema" è maschile.
Quindi è scorretto dire "sistemi di equazioni lineari omogenei", devi dire preferibilmente "sistemi di equazioni lineari omogenee" oppure (stiracchiando un po') "sistemi omogenei di equazioni lineari".

Un sistema di generatori è un insieme di vettori, la cui combinazione lineare determina tutti gli elementi dello spazio vettoriale. Basta questa definizione, se hai 3 vettori che costituiscono un insieme di generatori, un qualunque quarto vettore è necessariamente lineramente dipendente da quei 3.