[Risolto] Sistema con parametro

$\begin{cases} \frac{x}{y} = 2a+1 \\ (2a-1)x+(4a^2-1)y=6\end{cases}$

supponiamo che $y \neq 0$ altrimenti il sistema perde di significato, allora otteniamo:

$\begin{cases} x = (2a+1)y \\ (2a-1)(2a+1)y+(4a^2-1)y=6 \end{cases}$

$\begin{cases} x=(2a+1)y \\ (4a^2-1)y+(4a^2-1)y=6 \end{cases}$

$\begin{cases}  x= (2a+1)y \\ 2(4a^2-1)y = 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x= (2a+1)y \\ (2a+1)(2a-1)y=3 \end{cases}$

supponendo che $a \neq \pm \frac{1}{2}$ otteniamo

$\begin{cases} y= \frac{3}{4a^2-1} \\ x = (2a+1) \frac{3}{(2a+1)(2a-1)} = \frac{3}{2a-1} \end{cases}$

se $a= \pm \frac{1}{2}$ si azzera il coefficiente di $y$ nella seconda equazione, quindi $0y=3$, naturalmente sappiamo che $\nexists y \in \mathbb{R} | 0 \cdot y = 3$ per la legge dell'annullamento del prodotto.

Per rispondere alla seconda domanda, supponiamo che le coordinate del punto siano $(x,y)$, se il punto ha ordinata opposta all'ascissa allora $y=-x$, quindi ha coordinate $(x,-x)$, sostituiamo questa coppia di coordinate nella prima equazione:

$\frac{x}{-x} = 2a+1$

per $x=0$ l'equazione perde di significato, mentre per $x \neq 0$ risolviamo ottenendo che:

$2a+1 = -1$

$a=-1$.