Sistema con parametro

a.

$a=-2$

$\begin{cases} x+y = 1-(-2) \\ x-2y =3(-2)(1-(-2)) \end{cases}$

$\begin{cases} x+y = 3 \\ x-2y = -18 \end{cases}$

Per riduzione sottraiamo la seconda alla prima:

$\begin{cases} x+y =3 \\ x+y-x+2y=3+18 \end{cases}$

$\begin{cases} x+y = 3 \\ 3y=21 \implies y = 7 \end{cases}$

$\begin{cases} x=3-7=-4 \\ y =7 \end{cases}$

La soluzione è il punto $(-4,7)$.

b.

Il sistema è determinato quando le rette che lo compongono non sono parallele, quindi quando in forma implicita $-\frac{a_1}{b_1} \neq -\frac{a_2}{b_2}$ (ho approfondito il perché in questa risposta).

$-\frac{1}{1} \neq -\frac{1}{a}$ se $a \neq 0$

$a \neq 1$

se $a=0$, la seconda equazione rappresenta una parallela all'asse $y$, mentre la prima non lo è, quindi il sistema sarebbe comunque determinato.

c.

Il sistema è impossibile quando le rette sono parallele e distinte, quindi quando $-\frac{a_1}{b_1} = -\frac{a_2}{b_2} \land -\frac{c_1}{b_1} \neq -\frac{c_2}{b_2}$

quindi quando $a=1$, e $\frac{1-a}{1} \neq \frac{3a(1-a)}{a}$

sostituendo $a=1$ nella seconda equazione otteniamo $0 \neq 0$ che è una contraddizione. Se queste dure rette sono parallele sono anche coincidenti, quindi non c'è alcun valore di $a$ per cui si verificano entrambe le condizioni.

d.

Un sistema è indeterminato quando le rette che lo compongono sono parallele e coincidenti. Abbiamo appena dimostrato che se queste rette sono parallele sono anche coincidenti, quindi il sistema è indeterminato per $a=1$

e.

Se le coordinate del punto che risolve il sistema sono $(x,y)$, la richiesta del problema pone $y=x$, quindi il punto avrà coordinate $(x,x)$, risolviamo il sistema con questa sostituzione:

$\begin{cases} x+x =1-a \\ x+ax=3a(1-a) \end{cases}$

$\begin{cases} a=1-2x \\ x+(1-2x)x = 3(1-2x)2x \end{cases}$

$\begin{cases} a=1-2x \\2x-2x^2=6x-12x^2 \end{cases}$

$\begin{cases} a =1-2x \\ x(5x-2)=0 \end{cases}$

$\begin{cases} a= 1-2x \\ x= 0 \lor x = \frac{2}{5} \end{cases}$

$\begin{cases} a=1 \lor a=\frac{1}{5} \\ x=0 \lor x = \frac{2}{5} \end{cases}$

Scartiamo $a=1$ perché sappiamo che a quel punto il sistema è indeterminato (in quel caso si ottiene anche una soluzione valida, ovvero il punto $(0,0)$ che ovviamente rispetta la condizione, ma non è una soluzione unica), quindi rimane che $a=\frac{1}{5} \land x = \frac{2}{5}$.