Sistema con equazioni logaritmiche n. 615

@Beppe

Ciao Beppe, 

Un possibile svolgimento è il seguente :

Insieme di definizione in R:

x>0 ; y> - 1 e y≠ 0

Buona giornata.

Stefano 

Posto x > 0 e y > 0 

per le proprietà dei logaritmi 

{ 4 log_2 (x) - 2 log_2 (y) = 4

{ log_2 (x) + log_2 (y) = 4 

ponendo ora u = log_2 (x) e v = log_2 (y) 

il sistema che ne risulta 

{ 4 u - 2v = 4

{ u + v = 4 

é lineare e si può risolvere 

moltiplicando per 2 la seconda e sommando 

4u - 2v + 2u + 2v = 4 + 2* 4

6u = 12

u = 2

v = 4 - 2 = 2 

x = 2^u = 2^2 = 4

y = 2^v = 2^2 = 4

615

Deve essere x > 0 e y + 1 > 0

Le due equazioni si trasformano in 

log_2 x/(y+1) = log_2 4

x = 4(y+1)^2

e

log_2 x / log_2 (y + 1) = 1

x = y + 1

Sostituendo 

x = 4x^2

x = 0 inaccettabile

x = 1/4

y = 1/4 - 1 = - 3/4

Il sistema di equazioni nelle due variabili reali (x, y)
615) (log(2, x) - log(2, (y + 1)^2) = 2) & (log(y + 1, x) = 1)
è definito per nessun argomento zero e nessuna base né zero né uno, perciò i valori da escludere sono, nel piano Oxy, sulle tre rette x = 0, y = 0, y = - 1.
Con u = y + 1 si riscrive
615) (log(2, x) - log(2, u^2) = 2) & (log(u, x) = 1) ≡
≡ (log(2, x/u^2) = 2) & (log(u, x) = 1) ≡
≡ (x/u^2 = 4) & (log(u, x) = 1) ≡
≡ (x = 4*u^2 = (2*u)^2) & (log(u, (2*u)^2) = 1) ≡
≡ (x = (2*u)^2) & (u = 1/4) ≡
≡ (x = (2*1/4)^2) & (y + 1 = 1/4) ≡
≡ (x = 1/4) & (y = - 3/4)
dove non solo non c'è nulla di indefinente, ma si vede proprio il risultato atteso.