Ringrazio in anticipo
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37
punti
Livello 0
Dalla funzione data:
- Per \(0 \leq t \leq 3\): \(i(t) = t + at + b\)
- Per \(t > 3\): \(i(t) = (t - 4)e^{-c(t-3)}\)
Dal grafico, possiamo osservare che all'istante \(t = 0\), \(i(t) = 1\), quindi possiamo ottenere:
\[1 = 0 + 0 + b\]
\[b = 1\]
Inoltre, all'istante \(t = 3\), \(i(t) = -3\), quindi:
\[-3 = 3 + 3a + 1\]
\[a = -1\]
Infine, possiamo osservare che all'infinito, \(i(t)\) si avvicina a zero, quindi:
\[0 = -\infty + \infty + 1\]
\[c = 1\]
Quindi, i valori delle costanti sono: \(a = -1\), \(b = 1\) e \(c = 1\).
b. Sostituendo i valori di \(a\), \(b\) e \(c\) ottenuti nella funzione \(i(t)\), otteniamo:
\[i(t) = t - t - 1\]
\[i(t) = -(t - 4)e^{-(t-3)}\]
Per determinare quando la tensione autoindotta è massima, dobbiamo trovare il punto di massimo della funzione \(V_2(t) = -L \cdot i(t)\). Poiché \(L\) è una costante e non influisce sulla posizione del massimo, possiamo concentrarci solo sulla funzione \(i(t)\).
Per trovare il massimo, dobbiamo trovare il punto in cui la derivata della funzione \(i(t)\) si annulla. Quindi, deriviamo \(i(t)\) e uguagliamo a zero:
\[i'(t) = -(t - 4)'e^{-(t-3)} - (t - 4)e^{-(t-3)} \cdot (-1)\]
\[i'(t) = -e^{-(t-3)} + (t - 4)e^{-(t-3)}\]
\[i'(t) = (t - 5)e^{-(t-3)}\]
Uguagliamo a zero per trovare i punti critici:
\[(t - 5)e^{-(t-3)} = 0\]
Il termine esponenziale non può essere mai nullo, quindi \(t - 5 = 0\), da cui \(t = 5\).
Quindi, l'istante in cui la tensione autoindotta è massima è \(t = 5\).
@martina_nardulli è questa la risposta?
Ti ringrazio per averlo risolto purtroppo da come vedi tu stesso nell'eservizio non offre una vera soluzione forse solo per il punto (a) che comunque dice di verificare che i punti sono tali a=-16/b=40 e c=8 i in questo senso invece del punto (b) non viene detto niente
La funzione i(t) è definita per distinzione di casi
* per t < 0: irrilevante, i(t) non ha significato fisico
* per 0 <= t <= 3: i(t) = (t^2 + a*t + b)/(t - 4)^2
* per t > 3: i(t) = e^(- c*(t - 3))
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a) Le informazioni ricavabili dal grafico sono solo tre
A) il ramo iniziale vale 5/2 all'istante t = 0
B) entrambi i rami valgono uno all'istante t = 3 (continuità)
C) i due rami hanno pari pendenza all'istante t = 3 (derivabilità)
A e B si traducono nel sistema
* (b/16 = 5/2) & ((3^2 + a*3 + b)/(3 - 4)^2 = 1) & (e^(- c*(3 - 3)) = 1) ≡
≡ (a = - 16) & (b = 40)
da cui
* per 0 <= t <= 3: i(t) = (t^2 - 16*t + 40)/(t - 4)^2; m1(t) = di/dt = 8*(t - 2)/(t - 4)^3
* per t > 3: i(t) = e^(- c*(t - 3)); m2(t) = di/dt = - c*e^(- c*(t - 3))
il dato C si traduce nell'equazione
* m1(3) = m2(3) ≡ 8*(3 - 2)/(3 - 4)^3 = - c*e^(- c*(3 - 3)) ≡
≡ - 8 = - c ≡ c = 8
da cui
* per 0 <= t <= 3: i(t) = (t^2 - 16*t + 40)/(t - 4)^2; m1(t) = 8*(t - 2)/(t - 4)^3
* per t > 3: i(t) = e^(- 8*(t - 3)); m2(t) = - 8*e^(- 8*(t - 3))
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b) Il richiesto istante T > 0 è quello in cui si ha il minore fra i valori minimi di m1 e di m2.
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* m1(t) = 8*(t - 2)/(t - 4)^3
* m1(0) = 8*(0 - 2)/(0 - 4)^3 = 1/4
* m1(3) = 8*(3 - 2)/(3 - 4)^3 = - 8
* m1'(t) = - 16*(t - 1)/(t - 4)^4
* m1''(t) = 48*t/(t - 4)^5
La condizione di minimo relativo dà
* (m1'(t) = 0) & (m1''(t) > 0) ≡
≡ (- 16*(t - 1)/(t - 4)^4 = 0) & (48*t/(t - 4)^5 > 0) ≡ impossibile
In assenza di minimi relativi il minimo assoluto è m1(3) = - 8 e il T candidato è tre.
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* m2(t) = - 8*e^(- 8*(t - 3))
* m2(3) = - 8*e^(- 8*(3 - 3)) = - 8
* m2'(t) = 64*e^(- 8*(t - 3))
* m2''(t) = - 512*e^(- 8*(t - 3))
La condizione di minimo relativo dà
* (m2'(t) = 0) & (m2''(t) > 0) ≡
≡ (64*e^(- 8*(t - 3)) = 0) & (- 512*e^(- 8*(t - 3)) > 0) ≡ impossibile
In assenza di minimi relativi il minimo assoluto è m2(3) = - 8 e il T candidato è tre.
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Il richiesto istante T > 0 è T = 3.
52064
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Genius I
@exprof grazie mille ancora