$$
(k+2) x^2-2 k x-(k-3)=0, \text { con } k \neq-2
$$
a. le radici sono discordi;
d. $\left|x_1-x_2\right|=6$;
b. una radice è nulla;
e. le radici sono negative.
c. il prodotto delle radici è uguale al doppio della loro somma;
$$
\left[\text { a) } k<-2 \vee k>3 ; \text { b) } k=3 ; \text { c) } \nexists k \in \mathbb{R} ; \text { d) } k=\frac{-37 \pm \sqrt{193}}{14} ; \text { e) }-2<k \leq-\frac{3}{2}\right]
$$
Non riesco a risolvere i punti c, d, e.
Grazie.
143
punti
Livello 1
Forse non ci riesci perché non ti trovi col risultato atteso?
Vedi se ti trovi con questi qui di seguito.
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Stante la specificazione "k != - 2" l'equazione
759) (k + 2)*x^2 - k*x - (k - 3) = 0
equivale alla forma monica
* x^2 - (k/(k + 2))*x - (k - 3)/(k + 2) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
con
* s = k/(k + 2)
* p = - (k - 3)/(k + 2)
* Δ = s^2 − 4*p
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
* (X1)^2 + (X2)^2 = s^2 − 2*p (somma dei quadrati)
* (X1)^3 + (X2)^3 = s*(s^2 - 3*p) (somma dei cubi)
* 1/X1 + 1/X2 = s/p (somma degl'inversi)
* 1/(X1)^2 + 1/(X2)^2 = (s/p)^2 - 2/p (somma dei quadrati degl'inversi)
Vedi al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/188982/
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a) "radici discordi" ≡ p < 0 ≡ - (k - 3)/(k + 2) < 0 ≡ (k < - 2) oppure (k > 3)
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b) "una radice è nulla" ≡ p = 0 ≡ - (k - 3)/(k + 2) = 0 ≡ k = 3
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c) "..." ≡ p = 2*s ≡ - (k - 3)/(k + 2) = 2*k/(k + 2) ≡ k = 1
---------------
d) "|X1 - X2| = 6" ≡ √Δ = 6 ≡ √((k/(k + 2))^2 − 4*(- (k - 3)/(k + 2))) = 6 ≡ k = (- 74 ± 2*√67)/31
---------------
e) "radici negative" ≡ X2 < 0 ≡ (k/(k + 2) + √((k/(k + 2))^2 − 4*(- (k - 3)/(k + 2))))/2 < 0 ≡
≡ - 2 < k <= 2*(1 - √31)/5
52362
punti
Genius I
Preliminarmente D >= 0
c) C/A = - 2B/A
C = - 2B con k =/=-2
d) D/A^2 = 36
e) D >= 0 & -B/A < 0 & C/A > 0
38849
punti
Livello 7
