Simmetrie

Siano le rette

\[r: x + y - 2 = 0 \iff y = -x + 2 \qquad s: x + y - 4 = 0 \iff y = -x + 4\,;\]

le equazioni parametrizzate delle rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante nel piano Euclideo-Cartesiano sono:

\[y = kx \qquad y = \frac{1}{k}x\,.\]

Risolvendo i seguenti sistemi di equazioni, si ricavano i punti di intersezione, coincidenti con i vertici del trapezio:

\[\begin{cases} y = kx \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{2k}{1 + k} \\ x = \frac{2}{1 + k} \end{cases}\]

\[\begin{cases} y = \frac{1}{k}x \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{2}{1 + k} \\ x = \frac{2k}{1 + k} \end{cases}\,.\]

\[\begin{cases} y = kx \\ x + y - 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{4k}{1 + k} \\ x = \frac{4}{1 + k} \end{cases}\]

\[\begin{cases} y = \frac{1}{k}x \\ x + y - 4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{4}{1 + k} \\ x = \frac{4k}{1 + k} \end{cases}\,.\]

Trovati i punti di intersezione, banalmente applichi la formula dell'area di un trapezio:

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot (B + b) \cdot h = 3\,.\]

Prova a svolgere da solo/a il calcolo, ricavando il valore del parametro $k\,$.

x + y = 2

x + y = 4

Sono rette parallele fra loro e perpendicolari alla bisettrice del 1° e 3° quadrante: y = x

Determino quindi il segmento HK  che risulterà pari all'altezza h del trapezio isoscele di area A= 3

Η = punto medio base minore

k= punto medio base maggiore

del trapezio isoscele

{x + y = 2

{y = x

risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 1]

H [1, 1]

{x + y = 4

{y = x

risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 2]

K [2, 2]

h = HK = √((2 - 1)^2 + (2 - 1)^2) = √2

Metto ora a sistema.

{y = m·x

{x + y = 2

Risolvo ed ottengo: x = 2/(m + 1) ∧ y = 2·m/(m + 1)

[2/(m + 1), 2·m/(m + 1)] sono le coordinate  di un estremo della base minore

{y = m·x

{x + y = 4

Risolvo ed ottengo: x = 4/(m + 1) ∧ y = 4·m/(m + 1)

[4/(m + 1), 4·m/(m + 1)] sono le coordinate  di un estremo della base maggiore

Quindi.

misura mezza base minore=

=√((2/(m + 1) - 1)^2 + (2·m/(m + 1) - 1)^2) = √2·ABS((m - 1)/(m + 1))

misura mezza base maggiore=

=√((4/(m + 1) - 2)^2 + (4·m/(m + 1) - 2)^2) = 2·√2·ABS((m - 1)/(m + 1))

Area di mezzo trapezio= 3/2

1/2·(√2·ABS((m - 1)/(m + 1)) + 2·√2·ABS((m - 1)/(m + 1)))·√2 = 3/2

3·ABS((m - 1)/(m + 1)) = 3/2

ABS((m - 1)/(m + 1)) = 1/2

Risolvo:

(m - 1)/(m + 1) = - 1/2----> m = 1/3 

(m - 1)/(m + 1) = 1/2---> m = 3

Quindi le rette:

y = 1/3·x ed y= 3x

L'area S —che dev'essere tre— del trapezio di altezza h e basi a e b è il prodotto fra l'altezza e la media delle basi
* S = h*(a + b)/2 = 3
In questo caso h è la distanza fra le parallele date
* x + y - 2 = 0
* x + y - 4 = 0
cioè
* h = √2
* S = (a + b)/√2 = 3 ≡ a + b = 3*√2
------------------------------
Nel fascio proprio centrato sull'origine le coppie di rette simmetriche rispetto alla y = x hanno la forma
* y = tg(π/4 - a)*x
* y = tg(π/4 + a)*x
cioè, essendo tg(π/4 - a)*tg(π/4 + a) = 1, e per (k != - 1) & (k != 0) & (k != 1)
* y = k*x
* y = x/k
e il loro complesso è
* x^2 - (k + 1/k)*x*y + y^2 = 0
che, intersecato col complesso delle parallele date
* (x + y)^2 - 6*(x + y) + 8 = 0
dà le posizioni dei vertici
* (x^2 - (k + 1/k)*x*y + y^2 = 0) & ((x + y)^2 - 6*(x + y) + 8 = 0) & (k != - 1) & (k != 0) & (k != 1) ≡
≡ A(2*k/(k + 1), 2/(k + 1)) ∨ B(4*k/(k + 1), 4/(k + 1)) ∨ C(4/(k + 1), 4*k/(k + 1)) ∨ D(2/(k + 1), 2*k/(k + 1))
da cui ricavare le lunghezze delle basi
* maggiore: |BC| = a = (4*√2)*|(k - 1)/(k + 1)|
* minore: |AD| = b = (2*√2)*|(k - 1)/(k + 1)|
e l'equazione risolutiva
* a + b = 3*√2 ≡
≡ (4*√2)*|(k - 1)/(k + 1)| + (2*√2)*|(k - 1)/(k + 1)| = 3*√2 ≡
≡ |(k - 1)/(k + 1)| = 1/2 ≡
≡ (k = 1/3) oppure (k = 3)
che è proprio il risultato atteso.