Discutere al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ la diagonalizzabilità della matrice reale
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
k+1 & 1 & 2 \\
1 & k+1 & k+1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
Per i valori di $k$ per cui $A$ è diagonalizzabile, scrivere una matrice diagonale $B$ simile ad $A$ e determinare una matrice $N$ invertibile tale che $N^{-1} A N=B$.
Buongiorno, sto provando a svolgere questo esercizio ma non sono sicura del procedimento. Secondo voi fino a qui è corretto?
2
punti
Livello 0
Per determinare se la matrice è diagonalizzabile è necessario trovare i suoi autovalori; siano:
\[A \in M_{3,3}(\mathbb{R}) = \begin{pmatrix} k+1 & 1 & 2 \\ 1 & k+1 & k+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[A - \lambda I = \begin{pmatrix} k + 1 - \lambda & 1 & 2 \\ 1 & k + 1 - \lambda & k + 1 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\,.\]
Calcolando il determinante della matrice tramite gli sviluppi di Laplace lungo la terza riga:
\[\det{(A - \lambda I)} = (1 - \lambda) \det{\begin{pmatrix} k + 1 - \lambda & 1 \\ 1 & k + 1 - \lambda\end{pmatrix}} =\]
\[(1 - \lambda)[(k + 1 - \lambda)^2 - 1] = (1 - \lambda)(k - \lambda)(k + 2 - \lambda) = 0\,.\]
Gli autovalori sono quindi $\lambda_1 = 1\,, \quad \lambda_2 = k\,, \quad \lambda_3 = k + 2\,$.
Per il Teorema spettrale per le matrici simmetriche e per il Teorema sulla diagonalizzabilità, la matrice $A$ è diagonalizzabile $\forall k \in \mathbb{R} - \{1, -2\}\,$.
Prova a risolvere da sola il resto. Se hai dubbi, apri una nuova domanda.
3831
punti
Livello 5
Il mio suggerimento circa il problema è di trascurare inizialmente il primo quesito, eseguire in simboli tutti i calcoli, e —solo alla fine— ridurre la richiesta discussione a escludere i valori del parametro che invalidano i risultati.
* A = {{k + 1, 1, 2}, {1, k + 1, k + 1}, {0, 0, 1}} = M.B.M^(- 1) ≡
≡ B = M^(- 1).A.M
dove
* B = {{1, 0, 0}, {0, k, 0}, {0, 0, k + 2}}
* M = {{- 1/(k + 1), - 1, 1}, {- (k + 2)/(k + 1), 1, 1}, {1, 0, 0}}
* M^(- 1) = {{0, 0, 1}, {- 1/2, 1/2, 1/2}, {1/2, 1/2, (k + 3)/(2*k + 2)}}
57798
punti
Genius I
