[Risolto] Determina l'equazione della retta tangente al grafico della funzione

Sia

\[f(x) = \cos{x} \left(1 + \int_{0}^{x} \frac{\cos{(\frac{\pi t}{3})}}{t^2 + 1}\,dt \right)\,.\]

Allora

\[f(0) = \cos{0} \cdot (1 + 0) = 1\,.\]

Utilizzando la regola di derivazione di Leibniz e il Teorema di Torricelli-Barrow:

\[\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx} (\cos{x})\left(1 + \int_{0}^{x} \frac{\cos{(\frac{\pi t}{3})}}{t^2 + 1}\,dt \right) + \cos{x} \frac{d}{dx} \left(1 + \int_{0}^{x} \frac{\cos{(\frac{\pi t}{3})}}{t^2 + 1}\,dt \right) =\]

\[= -\sin{x}\left(1 + \int_{0}^{x} \frac{\cos{(\frac{\pi t}{3})}}{t^2 + 1}\,dt \right) + \cos{x}\left(\frac{\cos{(\frac{\pi x}{3})}}{x^2 + 1}\right) \:\Bigg|_{\substack{x = 0}} =\]

\[= 0 + 1 \cdot \frac{\cos{0}}{1} = 1\,.\]

Allora la retta tangente ha equazione

\[y - y_0 = m(x - x_0) \implies y = 1 + 1 \cdot x = 1 + x\,.\]

L'equazione della retta tangente è data dalla

$y = f(0) + f'(0)\cdot x$

Calcoliamo separatamente f(0) e f'(0)

• f(0) = 1(1+0) = 1 (gli estremi dell'integrale sono eguali)
• f'(x) =

$=-sin(x)(1+ \displaystyle\int_0^x \frac {cos(\frac{πt}{3})}{1+t^2} \, dt +$

$+cos(x)(\frac {cos(\frac{πx}{3})}{1+x^2})$

• • $f'(0) = -0 + 1(\frac {cos(0)}{1}) = 1$

.

La retta tangente alla funzione nel punto x = 0 è y = x +1

Risulta y(0)=1

e quindi y - 1 = mt*x

mt = -sin(0)*I(0) + 1*cos(pi/3 * x)/(x°2+1)_(x=0) =

= 0+1/1 = 1

y = x+1