Si scriva l'equazione della retta tangente alla circonferenza $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-6 x-4 y-3=0 \\ -8 \sqrt{3} x+\sqrt{3} y+z+8 \sqrt{3}=0\end{array}\right.$ nel punto $T=(1,-1, \sqrt{3})$
Si scriva l'equazione della retta tangente alla circonferenza $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-6 x-4 y-3=0 \\ -8 \sqrt{3} x+\sqrt{3} y+z+8 \sqrt{3}=0\end{array}\right.$ nel punto $T=(1,-1, \sqrt{3})$
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Livello 0
Ciao.
Risolvo l'equazione della sfera rispetto a z:
z = - √(- x^2 + 6·x - y^2 + 4·y + 3) ∨ z = √(- x^2 + 6·x - y^2 + 4·y + 3)
Verifico che il punto assegnato T (1,-1,√3) appartiene alla seconda semisfera:
√3 = √(- 1^2 + 6·1 - (-1)^2 + 4·(-1) + 3)
quindi ottengo: √3 = √3 OK!
Adesso trovo il piano tangente in T a tale superficie:
Z=Z0+Z'x(1,-1)*(x-1)+Z'y(1,-1)*(y+1)
Essendo:
Z0=√3
Z'x=(3 - x)/√(- x^2 + 6·x - y^2 + 4·y + 3)
Z'x(1,-1)=(3 - 1)/√(- 1^2 + 6·1 - (-1)^2 + 4·(-1) + 3) = 2·√3/3
Z'x=(2 - y)/√(- x^2 + 6·x - y^2 + 4·y + 3)
Z'y(1,-1)=(2 - (-1))/√(- 1^2 + 6·1 - (-1)^2 + 4·(-1) + 3)=√3
Quindi il piano tangente:
z = √3 + 2·√3/3·(x - 1) + √3·(y + 1)
z = 2·√3·x/3 + √3·y + 4·√3/3
Quindi la retta tangente in T alla circonferenza assegnata deve essere nello spazio (x,y,z) data dall'intersezione dei due piani:
{z = 2·√3·x/3 + √3·y + 4·√3/3
{- 8·√3·x + √3·y + z + 8·√3 = 0
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Genius III
@lucianop Tutto molto chiaro la ringrazio. L'unica cosa che non ho capito è il passaggio da te evidenziato in grassetto quando dici (cito testualmente):"
Adesso trovo il piano tangente in T a tale superficie:
Z=Z0+Z'x(1,-1)*(x-1)+Z'y(1,-1)*(y+1)"
Volevo capire se fosse una formula o qualcos'altro.
ps la ringrazio in anticipo aspetto la sua risposta, buonagiornata.
La formula in grassetto permette di ottenere il piano tangente alla superficie z. Può essere interpretata come un'estensione della formula della retta tangente che scrivi nelle due dimensioni (x,y) : y=yo+y'*(x-xo)