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Ho risolto, una semplice ricerca mi ha portato ai numeri di Catalan, quindi $P(k)= \left(\dfrac{2}{9}\right)^k  \dfrac{3}{2} C_{k-1} = \dfrac{3}{2} \left(\dfrac{2}{9}\right)^k \binom{2k-2}{k-1} \dfrac{1}{k} = \dfrac{3}{2} \left(\dfrac{2}{9} \right)^k \dfrac{(2k-2)!}{k(k-1)!^2}$. Allora $\displaystyle{P=\dfrac{3}{2} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{9}\right)^k \dfrac{(2k-2)!}{k(k-1)!^2}=\dfrac{1}{2}}$. Ho fatto svolgere i calcoli a Wolfram Alpha, ma non saprei come calcolarlo da solo. In $P(k)$ chiarisco che $C_{k-1}$ è il $k-1$-esimo numero di Catalan.

@gregorius 

Bravo. Bravo! Bravo! Ciao da luciano.

@gregorius Grazie mille! Nel frattempo ho trovato anche un video che spiega come si ricava la forma chiusa della funzione generatrice e la formula di Catalano con i fattoriali, la tua risposta mi ha aiutato a capire la soluzione del problema.

@gregorius ...non ci son parole che esprimano compiutamente quanto poliedrico tu sia  ...(👍👌👍)^n

@lucianop, @remanzini_rinaldo “Cari amici, grazie mille per le parole troppo generose.
La verità è che la curiosità è stata la mia unica vera guida, un dono che ho cercato di coltivare fin da quando mio nonno, tanti anni fa, mi diceva che conoscere tante cose diverse aiuta a non farsi incantare dalle ‘sirene’ di turno.
Quindi, se talvolta riesco a vedere connessioni tra ambiti differenti, è solo perché ho cercato di essere un eterno studente, come tutti noi qui su SosMatematica.
L’aiuto reciproco e la passione per la spiegazione fanno il resto.
Grazie ancora, e continuiamo a imparare insieme!” Con amicizia, Greg