Ho trovato questo problema online, ma non una risposta che mi convincesse decisamente, presento il problema e la mia soluzione:
Un uomo ubriaco è ad un passo dal cadere dal dirupo davanti a lui, la probabilità che l'uomo faccia un passo in avanti è $\frac{1}{3}$, la probabilità che faccia un passo indietro è $\frac{2}{3}$, calcolare la probabilità che l'uomo non cada dal dirupo.
Questa è una rappresentazione molto brutta del problema. La posizione dell'uomo è descrivibile dall'equazione $1-k+q=P$, dove $k$ è il numero di passi verso il dirupo e $q$ è il numero di passi nella direzione opposta. Se poniamo $P=0$ (l'uomo cade dal dirupo) otteniamo che $q=k-1$, con $k,q >0 \in \mathbb{N}$ in pratica è sempre possibile che l'uomo cada dal dirupo, deve solo compiere un passo in più nella direzione del dirupo rispetto ai passi che ha compiuto nella direzione opposta. La probabilità che l'uomo effettui una sequenza di passi del genere è $P_0(k)=(\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{k-1}=(\frac{2}{9})^k \cdot \frac{3}{2}$, perché ogni passo è indipendente dall'altro. Dato che esistono infiniti valori di $k$ che risolvono il problema la probabilità è la somma $P= \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{2}{9})^k \cdot \frac{3}{2}$, questa somma converge e risulta $P=\frac{3}{7}$, il risultato cercato è il complementare quindi $1-P=\frac{4}{7}$. Questa soluzione semplifica un po' il calcolo perché abbiamo aggirato il problema delle sequenze "equivalenti" che sarebbero sequenze in cui i passi si verificano in ordine diverso ma con lo stesso valore di $k$.
La soluzione che ho trovato online è questa che riporta come risposta $P=\frac{1}{2}$
