[Risolto] Scomposizione polinomi

La scomposizione del polinomio
* p(a) = a^5 - 2*a^2 - a + 1 + a^4 =
= a*(a*((a + 1)*a^2 - 2) - 1) + 1
fa uso di due PRINCIPII GENERALI:
1) ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha un numero dispari di radici reali (cioè ne ha almeno una e NON PUO' ESSERE IRRIDUCIBILE sui reali);
2) ogni polinomio monico a coefficienti interi, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori interi del termine noto.
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Poiché p(a) è monico a coefficienti interi, se ha zeri razionali, li ha fra i divisori di "+ 1", cioè in {- 1, 1}.
Le due valutazioni
* p(- 1) = (- 1)*((- 1)*(((- 1) + 1)*(- 1)^2 - 2) - 1) + 1 = 0
* p(+ 1) = (+ 1)*((+ 1)*(((+ 1) + 1)*(+ 1)^2 - 2) - 1) + 1 = 0
indicano che p(a) è divisibile sia per (a + 1) che per (a - 1) e che quindi ha, sull'insieme Q dei razionali, la scomposizione
* p(a) = a^5 - 2*a^2 - a + 1 + a^4 =
= (a + 1)*(a - 1)*(a^3 + a^2 + a - 1)
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Poiché p(a) è di grado dispari a coefficienti reali, se ha due zeri razionali, deve averne ancora almeno uno (o tre) reale irrazionale algebrico "r", fra le radici di
* q(a) = a^3 + a^2 + a - 1 = (a - r)*(a^2 - s*a + p) = 0
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Applicando le formule di Tartaglia-Cardano che trovi nell'articolo al link
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.htm
si trova
* r = (- 1 - 2/(17 + 3*√33)^(1/3) + (17 + 3*√33)^(1/3))/3
e non sto qui a scrivere gl'incubi daattilografici per "s" e "p".
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Per avere un'idea più chiara della riducibilità sui reali, meglio delle scomode espressioni simboliche di Tartaglia-Cardano, si usano dei valori numerici approssimati (con almeno una dozzina di cifre significative, come si possono avere con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel) ottenendo
* r ~= + 0.54368901269208
* s ~= - 1.5436890126921
* p ~= + 1.8392867552142
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VERIFICA di accettabilità dell'approssimazione
* (a - 0.54368901269208)*(a^2 + 1.5436890126921*a + 1.8392867552142) =
= a^3 + a^2 + a - 1
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CONCLUSIONE
* p(a) = a^5 - 2*a^2 - a + 1 + a^4 =
= (a + 1)*(a - 1)*(a^3 + a^2 + a - 1) ~=
~= (a + 1)*(a - 1)*(a - 0.54368901269208)*(a^2 + 1.5436890126921*a + 1.8392867552142)

Ciao! Scriviamo il polinomio in maniera ordinata: $a^5+a^4-2a^2-a+1$

Possiamo utilizzare il metodo di Ruffini, dobbiamo quindi trovare ciò che in matematichese è chiamata "radice razionale" del polinomio, ovvero lo "zero del polinomio", il termine che rende nullo il polinomio. Esso va ricercato fra i divisori del termine noto ed eventualmente fra le frazioni che hanno per numeratore uno di tali divisori e per denominatore uno dei divisori del coefficiente del termine di grado massimo. 

In questo caso è $1$ poiché se sostituito ad ogni $a$, dà come risultato $0$. 

Svolgendo la griglia otteniamo $\left(a-1\right)\left(a^4+2a^3+2a^2-1\right)$ e poiché il grado del secondo polinomio supera il grado del primo, ritentiamo ancora una scomposizione!

Troviamo lo zero del polinomio che questo caso è $-1$ e sviluppando la griglia otteniamo $\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+a-1\right)$ che è la nostra scomposizione finale del polinomio poiché esso risulta non più scomponibile. 

Abbiamo finito ? 

Ciao!

$$a^5-2a^2-a+1+a^4 $$

$ a^5 -a + a^4 -2a^2+1 $

$a^5-a +(a^2-1)^2$

$a(a^4-1) +(a^2-1)^2$

$a(a^2-1)(a^2+1)+(a^2-1)^2$

$(a^2-1)(a(a^2+1)+a^2-1)$

$(a-1)(a+1)(a^3+a^2 +a -1)$

e l'ultimo polinomio di terzo grado è irriducibile