[Risolto] Problemi di geometria analitica

n. 38

calcola la distanza del centro $C(3,-1,1)$ dal piano dato $\pi$. Questa sarà il raggio della sfera.

la formula è

$d(C,\pi)=\frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Quindi

$d(C,\pi)=\frac{|3*3+4*1-38|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5$

L'equazione della sfera è:

$(x-x_P)^2+(y-y_P)^2+(z-z_P)^2=R^2$

$(x-3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25$

Svolgendo i quadrati:

$x^2-6x+9+y^2+2y+1+z^2-2z+1-25=0$

$x^2+y^2+z^2-6x+2y-2z-14=0$

n.20

il generico piano ha equazione:

$ax+by+cz+d=0$

Bisogna imporre il passaggio per i 3 punti.

$2a+3c+d=0$ (passaggio per A)

$-c+d=0$       (passaggio per B)

$-3a+2b-4c+d=0$   (passaggio per C)

quindi dalla seconda $c=d$ e sostituendo nella prima:

$2a=-4d$ --> $a=-2d$ e infine nella terza:

$6d+2b-4d+d=0$ --> $b=-3d/2$

il piano pertanto è:

$-2dx-\frac{3d}{2}y+dz+d=0$  cioè

$-2x-\frac{3}{2}y+z+1=0$ e quindi:

$-4x-3y+2z+2=0$ oppure $4x+3y-2z-2=0$

tutti i piani paralleli a quello appena trovato sono del tipo

$4x+3y-2z+d=0$

imponiamo il passaggio per $P(-1,2,0)$:

$4*(-1)+3*2+d=0$ --> $d=-2$ quindi il piano è:

$4x+3y-2z-2=0$ ovvero $P$ appartiene al piano passante per $A$, $B$, $C$.