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[Risolto] Scomposizione numeratore frazione algebrica.

  

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Ciao a tutti, dovrei scomporre questa frazione algebrica:

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Il denominatore son riuscito a scomporlo (penso di averlo fatto correttamente) e viene così:

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Quello che non capisco è come scomporre il numeratore.

 

Il risultato è:

image

 

Grazie in anticipo.

 

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Scompongo il numeratore: 

$-a^2+2ab-b^2+x^2-2xy+y^2$

Utilizzando $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ si ottiene:

$-a^2+2ab-b^2+(x-y)^2$

Metto in evidenza il segno negativo:

$-(a^2-2ab+b^2)+(x-y)^2$

Utilizzando $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ si ottiene:

$-(a-b)^2+(x-y)^2$

Utilizzando la formula generale $z^2-w^2=(z-w)(z+w)$ si ottiene:

$(x-y-(a-b)) \cdot (x-y+(a-b))$

Cambio il segno e si ha

$(x-y-a+b) \cdot (x-y+a-b)$

Che rappresenta la scomposizione del numeratore.

Riportando il denominatore da te scomposto:

$(a-b-x+y) \cdot (a-b-x-y)$

abbiamo

$\frac{(x-y-a+b) \cdot (x-y+a-b)}{(a-b-x+y) \cdot (a-b-x-y)} =\frac{b-a+y-x}{a-b-x-y}$

@simon Toh, avevo qualche dubbio riguardo la differenza di quadrati dato che c'era un "+", ma soltanto adesso mi son accorto che i due termini si trovano in posizione invertita. Grazie.

 

 

 

 



-1

* (- a^2 + 2*a*b - b^2 + x^2 - 2*x*y + y^2)/(a^2 + b^2 + x^2 - 2*a*b - 2*a*x + 2*b*x - y^2) =
= ((x^2 - 2*x*y + y^2) - (a^2 - 2*a*b + b^2))/((a^2 - 2*a*b + b^2) - 2*(a - b)*x + x^2 - y^2) =
= ((x - y)^2 - (a - b)^2)/(((a - b)^2 - 2*(a - b)*x + x^2) - y^2) =
= ((x - y)^2 - (a - b)^2)/((a - b - x)^2 - y^2)
a questa forma basta applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati" per ottenere la scomposizione in fattori lineari
* ((x - y)^2 - (a - b)^2)/((a - b - x)^2 - y^2) =
= ((x - y) + (a - b))*((x - y) - (a - b))/(((a - b - x) + y)*((a - b - x) - y)) =
= (a - b + x - y)*(- a + b + x - y)/((a - b - x + y)*(a - b - x - y))



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