[Risolto] Scomposizione in fattori

x^5 - 5 x^3 + 4x = 0;

Si raccoglie x:

x (x^4 - 5 x^2 + 4) = 0;

Una prima soluzione è x = 0;

x^4 - 5 x^2 + 4 = 0; questa è una biquadratica, ha quattro soluzioni..

poniamo x^2 = y;

y^2 - 5y + 4 = 0; equazione di secondo grado.

y = [5 +- radice(25 - 16)] / 2;

y = [5 +- rad(9)] / 2;

y = [5 +- 3] / 2;

y1 = 8/2 = 4;

y2 = 2/2 = 1;

x^2 = y1;

x^2 = y2;

x1 = +- rad(4) = +- 2; 

x2 = +- rad(1) = + - 1;

Soluzioni dell'equazione di 5° grado:

0; +1 ; -1 ; +2;  - 2;

è divisibile per (x - 1); per (x + 1); per (x - 2); per (x + 2).

 

x * (x - 1) * (x + 1) * (x - 2) * (x + 2) = x^5 - 5 x^3 + 4x

x * (x - 1) * (x + 1) * (x - 2) * (x + 2) = 0.

x * (x^2 - 1) * (x^2 - 4) = 0.

ciao @aurora_lecchi

A) Mettere in evidenza il massimo comun divisore dei termini.
* MCD(x^5, - 5*x^3, 4*x) = x
* x^5 - 5*x^3 + 4*x = 0 ≡
≡ (x^4 - 5*x^2 + 4)*x = 0
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B) Riconoscere la forma biquadratica; sostituire u per x^2.
* x^4 - 5*x^2 + 4 = 0 ≡
≡ u^2 - 5*u + 4 = 0
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C) Scomporre il trinomio quadratico monico.
* u^2 - 5*u + 4 = 0 ≡
≡ (u - 1)*(u - 4) = 0
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D) Retrosostituire; scomporre i binomi quadratici monici.
* (u - 1)*(u - 4) = 0 ≡
≡ (x^2 - 1)*(x^2 - 4) = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x - 1)*(x + 2)*(x - 2) = 0
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E) Ricostituire l'originale; applicare la legge citata nella consegna.
* x^5 - 5*x^3 + 4*x = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x - 1)*(x + 2)*(x - 2)*x = 0 ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 1) oppure (x = - 2) oppure (x = 2) oppure (x = 0) ≡
≡ (x = - 2) oppure (x = - 1) oppure (x = 0) oppure (x = 1) oppure (x = 2) ≡
≡ x ∈ {0, ± 1, ± 2}

Raccoglimento totale

x(x^4 - 5x^2 + 4)

Scomposizione di un trinomio caratteristico monico

x[ x^4 - x^2 - 4x^2 + 4 ] =

= x [ x^2(x^2 - 1) - 4(x2 - 1) ] =

= x(x^2 - 1)(x^2 - 4)

Scomposizione di differenze di quadrati

 

x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)