[Risolto] Salve,potreste gentilmente darmi consiglio sull'esercizio?

determiniamo dapprima i domini e in seguito le coordinate dei punti di intersezione.

1. Domini

• • Dominio f(x) = ℝ \ {0}
  • Dominio g(x) = ℝ \ {0}

2. Punti di intersezione.

Risolviamo il sistema composto dalle equazioni delle due curve

{y = (ax-1)/3x

{y = 3/x

per confronto.

(ax-1)/3x = 3/x

x(ax-1) = 9x 

NB. La soluzione x=0 non è accettabile essendo fuori dominio possiamo quindi semplificare la x.

ax-1 = 9

ax = 10

osserviamo che a=0 non è accettabile quindi possiamo dividere ambo i membri per a

x = 10/a ⇒ y =3a/10

Per ogni a diverso da zero il punto di intersezione P ha coordinate P(10/a,3a/10)

3. Determiniamo con la derivata i coefficienti angolari delle due curve in P(10/a,3a/10)

• f'(x) = 1/(3x²) per cui la derivata in P, cioè mf, è pari a f'(10/a) = a²/300 
• g'(x) = -3/x² per cui la derivata in P, cioè mg, è pari a g'(10/a) = -3a²/100

4. Per essere ortogonali il prodotto dei due coefficienti angolari deve valere -1

mf*mg = -1

a²/300*(-3a²/100) = -1

a⁴=100²

a=±10

scartiamo quello positivo

a=10

● Le due funzioni sono:

• f(x) = (10x-1)/3x
• g(x) = 3/x

● i coefficienti angolari in P risultano essere:

• mf(1) = f'(1) = 1/3
• mg(1) = g'(1) = -3

● Il punto di intersezione ha coordinate P(1,3)

4. Equazione della retta r: tangente a f(x) in P(1,3) 

Applichiamo la formula della retta passante per un punto

r: y-yP = mf(1)*(x-xP)

y - 3 = 1/3 (x-1) 

x-3y+8=0

5. Equazione della retta s: tangente a g(x) in P(1,3) 

Applichiamo la formula della retta passante per un punto

r: y-yP = mg(1)*(x-xP)

y - 3 = -3 (x-1) 

3x+y-6=0

6. Verifica grafica. https://www.desmos.com/calculator/pfaftokfw8

@aless21

Ciao. Determiniamo il punto di intersezione P mettendo a sistema le due funzioni date:

{y = (a·x - 1)/(3·x)

{y = 3/x

precisando innanzitutto il loro C.E.:x ≠ 0

Procediamo quindi con il metodo di sostituzione:(a·x - 1)/(3·x)=3/x   (*3x)

a·x - 1 = 9-----> x = 10/a con la posizione a ≠ 0 

quindi determiniamo y------>y = 3/(10/a)  = 3·a/10---->P(10/a, 3·a/10)

In corrispondenza di tale punto P, determino il valore delle due derivate.

In corrispondenza della prima: y'=dy/dx=(a·(3·x) - 3·(a·x - 1))/(3·x)^2 = 1/(3·x^2)

In corrispondenza della seconda: y'=dy/dx=- 3/x^2

Per significato geometrico di derivata i due coefficienti angolari delle rette tangenti valgono:

1/(3·(10/a)^2)= a^2/300 per la prima

- 3/(10/a)^2=- 3·a^2/100 per la seconda

La condizione di perpendicolarità è m=-1/m'.

Quindi si deve avere: a^2/300----->  -300/a^2

- 300/a^2 = - 3·a^2/100 risolvendo tale equazione in a abbiamo 2 radici complesse e due reali:

a = -10 ∨ a = 10

Quindi abbiamo due funzioni razionali fratte che sono perpendicolari all'iperbole equilatera y=3/x:

y=(-10x-1)/(3x) ed y=(10x-1)/(3x)

Se si fa riferimento alla prima il punto P ha coordinate: P(-1,-3) e le due rette tangenti sono:

y = 1/3·x - 8/3; e y=-3x-6

Se si fa riferimento alla seconda il punto P' ha coordinate: P'(1,3) e le due rette tangenti sono:

y=1/3x+8/3 , e y=-3x+6

Due curve sono ortogonali in un punto P d'intersezione se e solo se lo sono le loro tangenti in quel punto, cioè se le pendenze delle curve in P sono antinverse.
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Le curve rappresentate da
* f(x, a) = y = (a*x - 1)/(3*x)
* g(x) = y = 3/x
hanno pendenze
* f'(x) = m(x) = 1/(3*x^2)
* g'(x) = m(x) = - 3/x^2
che risultano antinverse per
* (1/(3*x^2))*(- 3/x^2) = - 1 ≡ 1/x^4 = 1 ≡ x = ± 1 (per qualsiasi "a")
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Il sistema dei punti comuni a f(x) e g(x) ha una sola soluzione
* (y = (a*x - 1)/(3*x)) & (y = 3/x) ≡ P(10/a, (3/10)*a)
che percorre l'iperbole "x*y = 3" di g(x) al variare di "a" e cade sulle due ascisse di ortogonalità per "a = ± 10"; con la condizione del testo (a > 0) si ha
* f(x, 10) = y = (10*x - 1)/(3*x)
* P(1, 3)
* f'(1) = m(1) = 1/3
* g'(1) = m(1) = - 3
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Per il punto P(1, 3) passano tutte e sole le rette:
* x = 1, parallela all'asse y;
* t(k) ≡ y = 3 + k*(x - 1), per ogni pendenza k reale.
Quindi
* r ≡ t(1/3) ≡ y = 3 + (1/3)*(x - 1)
* s ≡ t(- 3) ≡ y = 3 - 3*(x - 1)
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Vedi
* il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3%2Fx%2Cy%3D%2810*x-1%29%2F%283*x%29%2C%283%2B%281%2F3%29*%28x-1%29-y%29*%283-3*%28x-1%29-y%29%3D0%5D
* il solo grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3%2Fx%2Cy%3D%2810*x-1%29%2F%283*x%29%2C%283%2B%281%2F3%29*%28x-1%29-y%29*%283-3*%28x-1%29-y%29%3D0%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-5to5
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) Determinare a > 0 ...: a = 10
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2) "quindi ricava ...": P(1, 3)
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3) "e le ... rette r e s ...":
* r ≡ x - 3*y + 8 = 0
* s ≡ 3*x + y - 6 = 0