Il modulo della velocità di un corpo di massa m, in kg, in caduta sotto l’azione del suo peso 𝑃⃗ = 𝑚𝑔 e di una
forza di attrito viscoso 𝐹 = −𝑘𝑣 proporzionale alla sua velocità v, in m/s, dipende dal tempo, misurato in s,
secondo la legge
𝑣(𝑡) = 𝜏𝑔 − (𝜏𝑔 − 𝑣0
)𝑒
−
𝑡
𝜏
Dove 𝜏 =
𝑚
𝑘
e 𝑣0 è la velocità del corpo all’istante iniziale 𝑡 = 0 𝑠.
a. Verifica che 𝑣(𝑡) soddisfa l’equazione differenziale
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 .
Dimostra poi che la velocità limite
𝑣𝐿 = lim
𝑡→+∞
𝑣(𝑡) = 𝜏𝑔
Indipendentemente dal valore di 𝑣0 e rappresenta in modo plausibile 𝑣(𝑡) per 𝑡 ≥ 0
b. Nell’ipotesi che 𝑣0 = 0 𝑚/𝑠, determina l’altezza minima h da cui deve essere lasciato cadere il
corpo affinché giunga al suolo con una velocità pari al 90% della velocità limite 𝑣𝐿
.
