a) studia il fascio di retta di equazione (k+2)x - (1-2k)y +5=0, indicando con a la retta del fascio che non viene rappresentata da alcun valore di k.b) Determina la retta r del fascio che interseca l'asse y nel punto avente per ordinata la soluzione positiva dell'equazione t(alla quarta) - 4t(alla seconda)=0 .c)Individua la retta s del fascio x +(k+1)y -3+k=0 perpendicolare alla retta r.d)Calcola l'area del quadrilatero individuato della rette r, s, a e dalla retta b del secondo fascio che non risponde ad alcun valore di k.
@lucianop ciao potresti spiegarmi come trovare l’altezza ah per poi calcolarmi l’area del primo triangolo perché sto cercando di procedere ma non riesco.. ti ringrazio in anticipo
Due triangoli separati dalla diagonale BD=4 che puoi considerare come base comune. Quindi:
1/2*4*4=8 triangolo a sinistra
1/2*4*2= 4 triangolo a destra
————————————————-
8+4= 12
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PREMESSE --------------- A) Le rette di un fascio improprio hanno tutte la stessa pendenza e sono parametrizzate dalla posizione (una delle intercette sugli assi) perciò ogni valore del parametro "posizione" ne rappresenta una. --------------- B) Le rette di un fascio proprio passano tutte per lo stesso centro (punto C di sostegno del fascio) e sono parametrizzate dalla pendenza, quindi la parallela all'asse y per il centro (x = xC) non è rappresentabile da alcun valore del parametro "pendenza". --------------- C) Per altri tipi di parametrizzazione, con parametro non riconducibile a una proprietà geometrica, la retta non rappresentabile dipende dalla forma. Per la forma normale canonica * r(k) ≡ a(k)*x + b(k)*y + c(k) = 0 la si sviluppa, separando i termini parametrici dagli altri, e la si riscrive come * r(k) ≡ (a*x + b*y + c) + k*(u*x + v*y + w) = 0 e la retta non rappresentabile è, ovviamente, la * u*x + v*y + w = 0 --------------- D) L'area del triangolo che ha i vertici * A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3) è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate * S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)| ------------------------------ FASCI DI RETTE --------------- A) a(k) ≡ (k + 2)*x - (1 - 2*k)*y + 5 = 0 ≡ ≡ k*(x + 2*y) + 2*x - y + 5 = 0 La retta "a" è * a ≡ x + 2*y = 0 ≡ y = - x/2 --------------- B) b(k) ≡ x + (k + 1)*y - 3 + k = 0 ≡ ≡ k*(y + 1) + x + y - 3 = 0 La retta "b" è * b ≡ y + 1 = 0 ≡ y = - 1 ------------------------------ RISPOSTE AI QUESITI --------------- a) Vedi fascio A. --------------- b) Le rette del fascio A * a(k) ≡ (k + 2)*x - (1 - 2*k)*y + 5 = 0 intersecano l'asse y (x = 0) per * ((k + 2)*x - (1 - 2*k)*y + 5 = 0) & (x = 0) ≡ Y(0, - 5/(2*k - 1)) L'equazione * t^4 - 4*t^2 = 0 ≡ t in {- 2, 0, 0, 2} ha la radice positiva t = 2, quindi per ottenere Y(0, 2) si deve avere * 2 = - 5/(2*k - 1) ≡ k = - 3/4 da cui * r ≡ a(- 3/4) ≡ (- 3/4 + 2)*x - (1 - 2*(- 3/4))*y + 5 = 0 ≡ ≡ y = x/2 + 2 di pendenza m = + 1/2 --------------- c) Le rette del fascio B * b(k) ≡ x + (k + 1)*y - 3 + k = 0 ≡ ≡ (y = (3 - k)/(k + 1) - x/(k + 1)) & (k != - 1) hanno pendenza m' = - 1/(k + 1) che è antinversa alla m = + 1/2 per * (- 1/(k + 1))*(1/2) = - 1 ≡ k = - 1/2 da cui * s ≡ b(- 1/2) ≡ x + (- 1/2 + 1)*y - 3 - 1/2 = 0 ≡ ≡ y = 7 - 2*x --------------- d) Che le rette {a, b, r, s} individuino UN quadrilatero (che giustifichi "area del") è un assunto tutto da verificare, p.es. con un grafico http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-x%2F2%2Cy%3D-1%2Cy-2%3Dx%2F2%2Cy%3D7-2*x%5D Assodata l'esistenza del quadrilatero se ne calcola l'area come differenza fra quelle di due triangoli; ma, per averle, servono le coordinate delle intersezioni. d1) {r, s} * (y = x/2 + 2) & (y = 7 - 2*x) ≡ C(2, 3) d2) {b, r, s} * (y = - 1) & ((x/2 + 2 - y)*(7 - 2*x - y) = 0) ≡ ≡ A(- 6, - 1) oppure B(4, - 1) d3) {a, r} * (y = - x/2) & (y = x/2 + 2) ≡ D(- 2, 1) d2) {a, b, r} * (y = - 1) & ((y + x/2)*(x/2 + 2 - y) = 0) ≡ ≡ A(- 6, - 1) oppure E(2, - 1) e infine * S(ABC) = 20 * S(AED) = 8 * S(EBCD) = S(ABC) - S(AED) = 20 - 8 = 12
