[Risolto] Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto con il seguente esercizio grazie in anticipo!

[x = 6 ∧ y = 2 ∧ z = 3]

Risolvi il sistema:

{x + 5·y + z = 19

{3·x + y + 2·z = 26

{x + y + 2·z = 14

---------------------------

{6 + 5·2 + 3 = 19----> 19 = 19

{3·6 + 2 + 2·3 = 26---> 26 = 26

{6 + 2 + 2·3 = 14---> 14 = 14

Sottraendo la III uguaglianza dalla II trovi subito 3 X - X = 26 - 14 => 2 X = 12 => X = 6

Pertanto  Y + 18 + 2Z = 26  e  6 + Y + 2Z = 14

Y + 2Z = 8 e  Y = 8 - 2Z.

Sostituendo nella I,   6 + 5(8 - 2Z) + Z = 19

6 + 40 - 10Z + Z = 19

9Z = 46 - 19 = 27

Z = 27/9 = 3

Y = 8 - 2*3 = 2

(X,Y,Z) = (6,2,3)

{X+5y+z = 19  (1)

{3x+y+2z = 26  (2)

{x+y+2z = 14  (3)

sottraendo la 3 dalla 2 si ha 2x = 12 ; x = 6 

y+2z = 26-3*6 = 8   ⇒  y = 8-2z

5y+z = 19-6 = 13

(8-2z)*5+z = 13

27 = 9z

z = 27/9 = 3 

Y = 8-2z = 8-6 = 2 

Dobbiamo risolvere questo sistema di 3 equazioni 

{X+5y+z=19

{Y+3x+2z=26

{x+y+2z=14

Useremo il metodo della sostituzione:

Dalla prima equazione (X+5y+z=19) ti isoli la variabile x ovviamente ricordando che quando sposti i termini dall'altra parte, bisogna cambiare il segno 

X = 19-5y-z

E dopo lo sostituisci nelle altre 2 equazioni al posto della x

La seconda (Y + 3x + 2z = 26) di conseguenza diventerà:

Y + 3(19-5y-z) +2z = 26

Svolgiamo i calcoli:

Y + 57 - 15y - 3z + 2z = 26

-14y - z = 26-57

-14y -z = -31

Ora facciamo la stessa cosa con la terza equazione    (x + y + 2z = 14)

19 -5y-z +y +2z = 14

-4y+z = -5

Adesso riscriviamo il sistema per vedere come proseguire 

{X=19 -5y -z

{-14y -z = -31

{-4y +z = -5

Dato che nella prima equazione avevamo isolato la x, adesso nella seconda equazione (-14y -z = -31), ci isoliamo la z

-z = -31 +14y

Moltiplicando per -1

z = 31 -14y

E lo andiamo a sostituire nella prima e terza equazione al posto della z

La prima equazione (X=19 -5y -z) diventa:

X = 19 -5y -(31-14y)

X = 19 -5y -31 +14y

X = -12 + 9y

La terza equazione (-4y +z = -5) diventa

-4y +31 -14y = -5

-18y = -36

Adesso ci possiamo trovare il valore di y

Y = (-36)/(-18) = 2

Quindi il nuovo sistema sarà:

{X = -12 + 9y

{z = 31 -14y

{Y = 2

Adesso nella prima e seconda equazione, invece di y, mettiamo il 2

La prima equazione (X = -12 + 9y) diventa:

X = -12 +9*2 = -12 +18 = 6

La seconda equazione (z = 31 -14y) diventa:

Z = 31 -14*2 = 31 -28 = 3

Adesso abbiamo tutti i risultati:

{X=6

{Z=3

{Y=2