[Risolto] Rotazione conica

L'equazione scritta NON E' DI UNA CONICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=10x%5E3-10xy--13y%5E2-72%3D0
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Se s'è trattato di un "errore di dito" allora
* Γ ≡ 10*x^2 - 10*x*y + 13*y^2 - 72 = 0
non è parabola perché "10*x^2 - 10*x*y + 13*y^2" non è quadrato di binomio; in quanto conica a centro è centrata là dove il gradiente s'annulla
* ∇[10*x^2 - 10*x*y + 13*y^2 - 72] = (20*x - 10*y, 26*y - 10*x) = (0, 0) ≡ C = O(0, 0)
quindi la rotazione che annulla il termine rettangolare è attorno all'origine.
Con
* (x = X*cos(θ) − Y*sin(θ)) & (y = X*sin(θ) + Y*cos(θ))
si ha
* Γ ≡ 10*(X*cos(θ) − Y*sin(θ))^2 - 10*(X*cos(θ) − Y*sin(θ))*(X*sin(θ) + Y*cos(θ)) + 13*(X*sin(θ) + Y*cos(θ))^2 - 72 = 0 ≡
≡ (3*sin^2(θ) - 5*sin(2*θ) + 10)*X^2 + (20*sin^2(θ) + 3*sin(2*θ) - 10)*X*Y + (3*cos^2(θ) + 5*sin(2*θ) + 10)*Y^2 - 72 = 0
La rotazione ottiene lo scopo per
* (20*sin^2(θ) + 3*sin(2*θ) - 10 = 0) & (- π/2 < θ < π/2) ≡
≡ θ = - arctg((3 ± √109)/10) rad ≡
≡ (θ ~= - 53°) oppure (θ ~= + 37°)
Per entrambi questi valori si ha
* Γ ≡ (3*sin^2(θ) - 5*sin(2*θ) + 10)*X^2 + (3*cos^2(θ) + 5*sin(2*θ) + 10)*Y^2 - 72 = 0
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Per θ = - arctg((3 - √109)/10) si ha
* (3*sin^2(θ) - 5*sin(2*θ) + 10) = (23 - √109)/2
* (3*cos^2(θ) + 5*sin(2*θ) + 10) = (23 + √109)/2
* Γ ≡ ((23 - √109)/2)*X^2 + ((23 + √109)/2)*Y^2 - 72 = 0
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Per θ = - arctg((3 + √109)/10) si ha
* (3*sin^2(θ) - 5*sin(2*θ) + 10) = (23 + √109)/2
* (3*cos^2(θ) + 5*sin(2*θ) + 10) = (23 - √109)/2
* Γ ≡ ((23 + √109)/2)*X^2 + ((23 - √109)/2)*Y^2 - 72 = 0
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B10*x%5E2-10*x*y%3D72-13*y%5E2%2C%28%2823--%E2%88%9A109%29%2F2%29*x%5E2%3D72-%28%2823-%E2%88%9A109%29%2F2%29*y%5E2%2C%28%2823%2B%E2%88%9A109%29%2F2%29*y%5E2%3D72-%28%2823-%E2%88%9A109%29%2F2%29*x%5E2%5D