[Risolto] Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione/riduzione

Ciao,

Metodo di sostituzione

$\begin{cases}2x-y=7 \\4x+3y=4\end{cases}$

Scegliamo di ricavare l'incognita y dalla prima equazione:

$-y=7-2x $$\rightarrow$$y=2x-7 $

Sostituiamo l’espressione della y nella seconda equazione, ottenendo il sistema

$\begin{cases}y=2x-7\\ 4x+3(2x-7)=4\end{cases}$

Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la seconda equazione rispetto all’incognita x:

$4x+6x-21=4$

$10x=4+21$

$10x=25$

$x= \frac{25}{10}$

$x= \frac{5}{2} $

Il sistema è quindi

$\begin{cases}y=2x-7\\ x=\frac{5}{2} \end{cases}$

Sostituiamo il valore$x=\frac{5}{2} $ nella prima equazione e troviamo il valore di y

$\begin{cases}y=2\left(\frac{5}{2}\right)-7 x=\frac{5}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}y=5-7\\ x=\frac{5}{2} \end{cases}$

$\begin{cases}y=-2\\ x=-\frac{5}{2} \end{cases}$

La soluzione del sistema è dunque

$\begin{cases}x= \frac{5}{2}  \\ y= -2 \end{cases}$

$\left(\frac{5}{2} ,-2 \right)$

$\begin{cases}5(5x-2)=20x-2(y-3)\\2(x-5)-12y=21(1-y)\end{cases}$

Riduciamo il sistema in forma normale:

$ \begin{cases}25x-10=20x-2y+6\\2x-10-12y=21-21y\end{cases}$

$\begin{cases}25x-20x+2y=6+10\\2x-12y+21y=21+10\end{cases}$

$\begin{cases}5x+2y=16\\2x+9y=31\end{cases}$

Scegliamo di ricavare l'incognita x dalla seconda equazione:

$ 2x=31-9y\rightarrow x=\frac{31-9y}{2}$

Sostituiamo l’espressione della x nella prima equazione, ottenendo il sistema

$\begin{cases}5\left(\frac{31-9y}{2}\right)

+2y=16\\ x=\frac{31-9y}{2}\end{cases}$

Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la prima equazione rispetto all’incognita y:

$5(31-9y)+4y=32$

$155-45y+4y=32$

$-41y=32-155$

$-41y=-123$

$y= \frac{-123}{-41}$

$y=3$

Il sistema è quindi

$\begin{cases}y=3\\ x=\frac{31-9y}{2}\end{cases}$

Sostituiamo il valore$y=3  $ nella secondaa equazione e troviamo il valore di x:

$\begin{cases}y=3\\ x=\frac{31-9(3)}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}y=3\\ x=\frac{31-27)}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}y=3\\ x=\frac{4)}{2}\end{cases}$

$\begin{cases}y=3\\ x=2 \end{cases}$

La soluzione del sistema è dunque

$\left(2,3\right)$

Metodo di riduzione

$\begin{cases}x-\frac{y}{2}=\frac{5}{3}\\ \frac{3}{2}x-\frac{3}{8}y=1\end{cases}$

Prima di procedere con il metodo di riduzione, riduciamo  il sistema in forma normale.

$\begin{cases}6x-3y=10\\ 12x-3y=8\end{cases}$

Per fare in modo che siano opposti i coefficienti della x, moltiplichiamo tutti i termini della prima equazione per -2

$\begin{cases}-12x+6y=20\\ 12x-3y=8\end{cases}$

Addizioniamo termine a termine i membri delle due equazioni e otteniamo l’equazione in y:

$-12x+6y+12x-3y=8-20$

$6y-3y=-12$

$3y=-12$

$y=-\frac{12}{3}$

la cui soluzione è $y=-4$

Sostituiamo il valore di y in un’equazione del sistema, per esempio nella seconda, e ricaviamo:

$12x-3(-4)=8$

$12x+12=8$

$12x=8-12$

$12x=-4$

$x=-\frac{4}{12}$

$x=-\frac{1}{3}$

La soluzione del sistema è:

$\left(-\frac{1}{3},-4\right)$

\begin{cases}3x-8y=-12 \\ \frac{1}{2}x+4y=-3\end{cases}

Prima di procedere con il metodo di riduzione, riduciamo  il sistema in forma normale .

$\begin{cases}3x-8y=-12\\ x+8y=-6\end{cases}$

Osserviamo che i coefficienti della y  sono opposti ; addizioniamo termine a termine i membri delle due equazioni e otteniamo l’equazione in x:

$3x-8y+x+8y=-12-6$

$4x=-18$

$x=-\frac{18}{4}$

$x=-\frac{9}{2}$

la cui soluzione è $x=-\frac{9}{2}$

Sostituiamo il valore di x in un’equazione del sistema, per esempio nella seconda, e ricaviamo:

$-\frac{9}{2}+8y=-6$

$8y=-6+\frac{9}{2}$

$8y=-\frac{3}{2}$

$y=-\frac{3}{2} \cdot\frac{1}{8}$

$y=-\frac{3}{16} $

La soluzione del sistema è:

$\left(-\frac{9}{2},-\frac{3}{16}\right)$

saluti ? 

Il metodo di sostituzione consiste nel trovare la x da un'equazione e sostituirla nell'altra, oppure la stessa cosa vale trovando la y.

Per risolvere un sistema col metodo di sostituzione:

• ricavo la variabile da una delle due equazioni e la sostituisco nell'altra equazione
• questa diventa ad una sola incognita e la risolvo. 
• Una volta trovata l'incognita la sostituisco nella prima equazione e trovo il valore dell'altra incognita

Il metodo di riduzione si basa sul primo principio di equivalenza dei sistemi che afferma che, se in un sistema di equazioni sostituiamo ad una di esse, l'equazione che si ottiene addizionando membro a membro tutte le equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Per prima cosa bisogna procedere alla riduzione in forma normale, cioè scrivere le equazioni nella forma $ax=b$.

Applicando poi il secondo principio di equivalenza delle equazioni, afferma che se moltiplichiamo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero otteniamo una equazione equivalente a quella data.

Ricapitolando, per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite con il metodo di riduzione dobbiamo:

• trasformare entrambe le equazioni del sistema in due equazioni equivalenti in modo che una incognita abbia lo stesso coefficiente;
• sottrarre membro a membro le due equazioni in modo da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;
• sostituire il valore trovato in una delle equazioni del sistema.