[Risolto] Esercizio calcolo funzione integrale

ciao!

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo:

$\int_{a}^b f(x) dx = F(b)-F(a) $.

Nel nostro caso: $\int_1^4 f(x) dx = F(4) - F(1) = 3 $

Passiamo ora all'altro integrale:

$\int_a^b f(3x+2) dx = \frac13 (F(3b+2) - F(3a+2) )$

perché $f(3x+2)$ è una funzione composta, quindi integrando dobbiamo dividere per la derivata di $3x+2$ che è $3$. (attenzione! Questo vale perché la funzione con cui abbiamo composto è un polinomio di grado $1$.)

Noi sappiamo quanto vale $F(4)-F(1)$, quindi quando

$\begin{cases} 3b+2 = 4 \\ 3a+2 = 1 \end{cases} $

che ci dà

$\begin{cases} b= \frac23 \\ a = -\frac13 \end{cases} $

da cui

$\frac13 ( F(3 \cdot \frac23 +2) - F(3\cdot - \frac13 +2 )) = \frac13(F(4)-F(1)) = \frac13 \cdot 3 = 1$