[Risolto] Risolvere limite usando de l'Hopital

@enrico200

Ciao. Puoi anche evitare di risolvere il limite con De L'Hopital. Comunque:

LIM((x^2 + SIN(x)^2)/(COS(x)^2 - 1))= (0/0) Forma indeterminata

x--->0

LIM((2·SIN(x)·COS(x) + 2·x)/(- 2·SIN(x)·COS(x))=(0/0)= Forma indeterminata

x--->0

ora:

(SIN(x)·COS(x) + x)/(- SIN(x)·COS(x)) =-1-x/(SIN(x)·COS(x))

Quindi somma di due limiti: uno vale -1 e l'altro vale-1 in quanto :

x/(SIN(x)·COS(x))= x/SIN(x)*(1/COS(x))

il limite per x-->0 del 1° fattore=1 (limite notevole), l'altro senza commentarlo=1

Quindi:

LIM((x^2 + SIN(x)^2)/(COS(x)^2 - 1)=-2

x--->0

-------------------------------------

Altro modo:

COS(x)^2 - 1 = - SIN(x)^2

Quindi il rapporto dato è:

- (SIN(x)^2 + x^2)/SIN(x)^2

si scinde in due addendi:

-SIN(x)^2/SIN(x)^2=-1 per x----0

-x^2/SIN(x)^2=-1 per x--->0 (limiti notevoli)

quindi risultato=-2

Mancano le parentesi al denominatore. Si tratta quindi di calcolare 

lim(x→0) (x²+sin²x)/(cos²x-1) = (^)

Verifichiamo che possiamo affrontarlo con de l'Hospital. Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0, inoltre il sia il numeratore che il denominatore sono derivabili.

lim(x→0) (2x+2sinxcosx)/(-2sinxcosx) = lim(x→0) - (x+sinxcosx)/(sinxcosx)

ancora una forma 0/0 possiamo applicare ancora de l'Hospital ma solo perché esplicitamente richiesto

lim(x→0) - (1+cos²x-sin²x)/(cos²x-sin²x) = - (1+1-0)/(1-0) = -2

applicando de l'Hospital possiamo concludere che

(^) = - 2

SICURO SEI D'AVERE SCRITTO UNA DOMANDA CORRETTA?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x%5E2+%2B+sin%5E2+x%29%2Fcos%5E2+x+-1