Risolvere la disequazione $\log_3 (\tan^2 x -1) \geq \log_5 25$.
Questo è quello che ho provato a fare: le condizioni di esistenza sono
$$\tan^2 x -1 >0 \iff \tan x >1 \vee \tan x < -1$$
$$\iff -\frac{\pi}{2}+k\pi < x < - \frac{\pi}{4}+k\pi \vee \frac{\pi}{4}+k\pi < x < \frac{\pi}{2}+k\pi$$
Con $k\in\mathbb{Z}$.
Essendo $\log_5 25 =\log_3 9$, riscrivo equivalentemente la disequazione come:
$$\log_3 (\tan^2 x -1) \geq \log_3 9 \iff \tan^2 x -1 \geq 9 \iff \tan^2 x \geq 10$$
$$ \iff \tan x \geq \sqrt{10} \vee \tan x \leq -\sqrt{10}$$
A questo punto vorrei invertire la tangente, ma credo di sbagliare qualcosa: se (come fa il mio libro) pongo $\alpha=\arctan \sqrt(10)$, invertendo arriverei a
$$x \geq \alpha +k\pi \vee x \leq -\alpha +k\pi$$
Che, intersecate con le condizioni di esistenza, mi portano alla soluzione (errata)
$$-\frac{\pi}{2}<x<-\alpha \vee \alpha \leq x \leq \frac{\pi}{2}$$
Il mio libro riporta la seguente soluzione: $\alpha+k\pi \leq x \leq \pi-\alpha+k\pi$, con $\alpha=\arctan \sqrt{10}$, $\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$.
Sospetto ci sia un errore quando inverto la tangente, qualcuno può aiutarmi a capire dove sbaglio? Grazie.
