Avrei bisogno di aiuto sulla risoluzione del seguente limite
$$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{x} \right)\quad .$$
Avrei bisogno di aiuto sulla risoluzione del seguente limite
$$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{x} \right)\quad .$$
Ciao, osservando il limite abbiamo al numeratore una forma indeterminata $+\infty -\infty$
Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per una opportuna espressione che ci consenta di eliminare, a numeratore, le radici cubiche.
Ricordando che, in generale:
$${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$$
procediamo in questo modo:
$$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{x} \right)=$$
$$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{3}}+x \right)-\left( {{x}^{3}}-x \right)}{x\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}+x \right)}^{2}}}+\sqrt{\left( {{x}^{3}}+x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-x \right)}^{2}}} \right)}=$$
$$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt{{{x}^{3}}-x} \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}+x \right)}^{2}}}+\sqrt{\left( {{x}^{3}}+x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-x \right)}^{2}}} \right)}{x\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}+x \right)}^{2}}}+\sqrt{\left( {{x}^{3}}+x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-x \right)}^{2}}} \right)}=$$
$$= \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\, \frac{2}{\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}+x \right)}^{2}}}+\sqrt{\left( {{x}^{3}}+x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{3}}-x \right)}^{2}}} \right)}=\frac{2}{+\infty}=0$$
@simon ciao, sbaglio o la seconda radice al numeratore nel testo è una radice quadrata? Dici che è sbagliato il testo ed in realtà era una radice cubica?