Risoluzione disequazione di grado superiore al secondo

Question

Ciao a tutti, ho questa disequazione che non riesco a risolvere:

$\displaystyle1+\frac{2\left(1-x^2\right)}{x}+\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2}>\:25$

Svolgendo tutti i calcoli alla fine giungo a questa forma: $\displaystyle\frac{x^4-2x^3-26x^2+2x+1}{x^2}>\:0$

Da qui non so più come andare avanti perché non riesco a scomporre il numeratore, Ruffini si nota ad occhio che non funge ed i vari raccoglimenti parziali sembrano non funzionare ☹️ ( a patto che io abbia calcolato correttamente 😀 ).

Avete qualche idea? 🤔 Magari c'è qualcosa che si può fare prima, non mi convince questo $\left(1-x^2\right)$ che si ripete ma anche scomponendolo non sono riuscito a combinare niente. Non riesco a vedere nient'altro, il risultato della disequazione è: $x<-2\\vee \\vee \\vee \:x>3+\sqrt{10}$

Grazie a chi risponderà 🖐️

Autore

Risposta

ILoveYou

(@iloveyou)

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11/07/2020 13:52

AndreaP · Accepted Answer

secondo me dovresti introdurre una nuova variabile. Ti direi di imporre y=(1-x^2)/x

in questo modo la disequazione diventa:

1 + 2y + y^2 >25

in questo modo puoi scrivere la parte a sinistra dell'uguale come (y+1)^2

a questo punto la risolvi come una normale disequazione di secondo grado ed ottieni due soluzioni:

y+1>5 v y+1< -5

ovvero:

y>4 v y<-6

ora devi tornare alla scrittura con la variabile x e risolvere queste due disequazioni:

1) (1-x^2)/x > 4

2) (1-x^2)/x <-6

unendo le soluzioni delle disequazioni ottieni tutta la soluzione che ci hai scritto!

AndreaP

(@andreap)

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11/07/2020 14:22

US · Answer

SOLUZIONE $1+ frac {2(1-x^{2})}{x}+ frac {(1-x^{2})^{2}}{x^{2}}>25$ $1+ frac {2(1-x^{2})}{x}+ frac {(1-x^{2})^{2}}{x^{2}}-25>0$ $-24+ frac {2(1-x^{2})}{x}+ frac {(1-x^{2})^{2}}{x^{2}}>0$  frac {-24x^{2}+2x-2x^{3}+(1-x^{2})^{2}}{x^{2}}>0$ $-24x^{2}+2x-2x^{3}+1-2x^{2}+x^{4}>0$ x^{4}-2x^{3}-26x^{2}+2x+1>0$ Scrivo dei monomi come differenza di altri monomi e poi scompongo. Non è un vero metodo risolutivo, più che altro è un trucchetto che in questo caso è un po’ difficile da applicare, ma per risolvere altre esercizi potrebbe esserti utile. 😉 x^{4}+4x^{3}-6x^{3}-x^{2}-24x^{2}-x^{2}+6x-4x+1>0$ x^{2}(x^{2}+4x-1)-6x(x^{2}+4x-1)-(x^{2}+4x-1)>0$ $(x^{2}+4x-1)(x^{2}-6x-1)>0$ • da qui penso che tu sappia come procedere •

[Risolto] Risoluzione disequazione di grado superiore al secondo

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