Es. 420 dunque, mi chiedevo, nel momento in cui la richiesta dell'esercizio è determina i coefficienti ABC in modo che il grafico abbia un estremo relativo nel punto di coordinate radice di 3;- 1. Se io se io ponessi f' di radice di 3 uguale a 0 starei considerando tutti i valori di ABeC, per cui la funzione ammette dei punti stazionari massimi minimi e flessi a tangente orizzontale in quel punto. Dunque, secondo me questa condizione non è sufficiente. È necessario quindi verificare per che valori di ABeC la funzione ammette di fatto un estremo relativo in quel punto.
in commento le condizioni sufficienti che richiedevi.
2 Risposte
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y = a·x^4 + b·x^2 + c
Funzione polinomiale pari perché somma di monomi di grado pari : quindi simmetrica rispetto asse delle y.
{passa dal punto [1, 3]
{Ha derivata nulla nel punto [√3, -1]
{ passa dal punto [√3, -1]
Quindi:
{a + b + c = 3
{12·√3·a + 2·√3·b = 0
{9·a + 3·b + c = -1
Risolvo ed ottengo:
[a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 8]
Funzione:
y = x^4 - 6·x^2 + 8
sue derivate:
y' = 4·x^3 - 12·x
y'' = 12·x^2 - 12
La funzione interseca gli assi nei punti:
{y = x^4 - 6·x^2 + 8
{y=0
[x = 2 ∧ y = 0, x = -2 ∧ y = 0, x = √2 ∧ y = 0, x = - √2 ∧ y = 0]
e nel punto [0,8]
Le due derivate si annullano in
4·x^3 - 12·x =0----> x = - √3 ∨ x = √3 ∨ x = 0
12·x^2 - 12 = 0-----> x = -1 ∨ x = 1 (punti di flesso)
Essendo la funzione continua ed illimitata superiormente avrà un massimo relativo in [0,8] e due minimi relativi ed assoluti in [√3, -1] ed in [-√3, -1] (per via della simmetria).
@lucianop Scusi, il mio quesito non era come si risolvesse l'esercizio, ma la domanda che ho posto sopra.
Poni le ascisse dei punti ottenuti che hai indicato con A B e C nella derivata seconda:
hai un punto di massimo relativo se per tali punti risulta: y''<0
hai un punto di minimo relativo se in tali punti risulta: y''>0
hai un punto di flesso a tangente orizzontale se risulta : y''=0 (oltre ad avere y'=0)
@lucianop Grazie! Dunque era corretto il mio ragionamento per un esercizio del genere?
Certamente, carissima!
0
Dunque, secondo me questa condizione non è sufficiente. Vero!
La condizione mancante è che il grafico della funzione deve passare per Q(√3, -1), oltre al fatto che Q sia un punto stazionario. Le due condizioni ti permettono di formulare il sistema lineare
@cmc Ma un'altra condizione non sarebbe dover considerare se la derivata seconda e diversa da 0 o uguale a 0, perché ponendo soltanto f'(radice di 3) ottengo i valori di a,b,c per cui posso ottenere massimi minimi o punti di flesso a tangente orizzontale, giusto? Quindi non è sufficiente semplicemente scrivere f'(x0)=0 in questi esercizi. Bisogna considerare anche la derivata seconda.
Puoi provare; troverai che la derivata seconda y" = 12a(x²-1) dipende da a.
In particolare se non viene detto dove la funzione è convessa o concava oppure dove sono presente i flessi non potrai determinare il valore da attribuire al parametro a.
