Ricerca operativa, esercizio 17

@stefaniia

La funzione guadagno G(x) dove x = kg di ricotta prodotta risulta essere:

G(x) = 8x - 5x - 60 - (1/500) * x² =

 = - (1/500) * x² +3x - 60

Tale funzione è una parabola con concavità verso il basso e due zeri in corrispondenza dei punti

X1= 20,27 ; x2= 1479,73

Per x>X1 la funzione è positiva (guadagno positivo) ed è crescente nell'intervallo [x1; 230]  poiché l'ascissa del vertice della parabola ha ascissa (- b/2a)= 750 > 230.

Per non essere in perdita dovrà quindi essere 

20,27 < x < 230

Il guadagno massimo risulta calcolando G(230)

Cercando d'estrarre il succo del problema dal mare di chiacchiere folkloristiche, trovo le seguenti informazioni.
* x <= 230 kg, è la produzione settimanale, variabile reale non negativa.
* r(x) = 8*x €, è il ricavo della vendita
* s(x) = 60 + 5*x + x^2/500 €, è il totale delle spese
* g(x) = y = r(x) - s(x) = 8*x - (60 + 5*x + x^2/500) ≡
≡ y = - (x^2 - 1500*x + 30000)/500 ≡
≡ y = - (x - 50*(15 - √213))*(x - 50*(15 + √213))/500 ≡
≡ y = 1065 - (x - 750)^2/500
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1065-%28x-750%29%5E2%2F500
Dalle diverse forme della funzione di guadagno si leggono le risposte ai quesiti.
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La parabola è non negativa per
* 50*(15 - √213) ~= 20.274 <= x <= 50*(15 + √213) ~= 1479.7 > 230
quindi la prima risposta è
* ~ 20.274 <= x <= 230
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La parabola ha il vertice
* V(750, 1065)
e, visto che 750 supera 230, il massimo guadagno si ha in
* M(230, 1065 - (230 - 750)^2/500) = (230, 2621/5) = (230, 524.2)

Soluzioni analitiche te ne sono già state date ; la tabella sottostante mostra come vanno le cose in step di 5 kg 

la quantità minima da produrre per non andare in rosso è 21 kg , mentre il massimo utile lo si ha in corrispondenza della massima quantità producibile settimanalmente (230 kg) ed ammonta a 524,20 €