1) scrivere l'equazione della circonferenza di centro C(-1;4) e che stacca sulla retta di equazione x+y-1=0 una corda di lunghezza 2radice2
1) scrivere l'equazione della circonferenza di centro C(-1;4) e che stacca sulla retta di equazione x+y-1=0 una corda di lunghezza 2radice2
Ciao!
Cominciamo a calcolare la circonferenza:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = r^2$
ma sappiamo le coordinate del centro, quindi
$(x+1)^2+(y-4)^2 = r^2$
$x^2+1+2x+y^2+16-8y = r^2$
$x^2 + y^2 +2x -8y +17-r^2 = 0 $
Calcoliamo l'intersezione con la retta $x + y -1 = 0$
$\begin{cases} x^2 + y^2 +2x -8y +17-r^2 = 0 \\ y = -x +1 \end{cases} $
che ci dà
$x^2 +(-x+1)^2 +2x - 8(-x+1) + 17 - r^2 = 0$
$x^2 +x^2 +1 -2x+2x + 8x -8 +17 - r ^2 = 0 $
$2x^2 + 8x + 10 - r^2 = 0$
che è un'equazione di secondo grado:
$\Delta = 64 - 4(2)(10-r^2) = 64 - 40 + 8 r^2 = 24 + 8r^2 = 4 (6+4r^2)$
$ x = \frac{-8 \pm 2 \sqrt{6+4r^2}}{8} = -1 \pm \frac12 \sqrt{6+4r^2} $
a cui corrispondono i punti:
$ y_ 1 = - x_1 -1 = 1 - \frac12 \sqrt{6+4r^2} - 1 = - \frac12 \sqrt{6+4r^2} $
e
$y_2 = -x_2 -1 = 1+ \frac12 \sqrt{6+4r^2} -1 = + \frac12 \sqrt{6+4r^2} $
Questi punti sono gli estremi della corda.
Calcoliamo la loro distanza:
$ AB = \sqrt{ (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 } = \sqrt{ ( 1- \frac12 \sqrt{6+4r^2} 1+ \frac12 \sqrt{6+4r^2})^2 + (- \frac12 \sqrt{6+4r^2} - \frac12 \sqrt{6+4r^2})^2} = $
$ = \sqrt{ 2^2 + (-\sqrt{6+4r^2})^2} = \sqrt{ 4 + 6+4r^2} = \sqrt{10+4r^2}$
sappiamo però che la corda deve essere lunga $ 2 \sqrt{2}$, quindi
$2 \sqrt{2} = \sqrt{10+4r^2}$
eleviamo entrambe le parti al quadrato
$8 = 10+4r^2 $
$4r^2 = -2 $
$r^2 = -\frac12 $
impossibile! Il raggio al quadrato non può essere negativo.
(Potrebbe esserci un errore nel testo?)
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Determinare l'equazione di una circonferenza equivale a trovare i tre parametri (a, b, q).
Determinare i tre parametri a partire da un'equazione data equivale a ridurla alla forma normale standard.
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Ogni circonferenza di centro C(- 1, 4) e di raggio r ha equazione
* Γ(q) ≡ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = q = r^2
e interseca la retta secante
* s ≡ x + y - 1 = 0 ≡ y = 1 - x
nelle soluzioni del sistema
* r & Γ(q) ≡ (y = 1 - x) & ((x + 1)^2 + (y - 4)^2 = q) ≡
≡ P((- 4 - √(2*(q - 2)))/2, (6 + √(2*(q - 2)))/2)
oppure
≡ Q((- 4 + √(2*(q - 2)))/2, (6 - √(2*(q - 2)))/2)
distanti fra loro
* d(q) = 2*√(q - 2)
------------------------------
Affinché il segmento PQ sia "una corda di lunghezza 2radice2" occorre risolvere in q l'equazione
* d(q) = 2*√(q - 2) = 2*√2
da cui
* q = 4
≡ P((- 3, 4)
≡ Q((- 1, 2)
* Γ ≡ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 4 = 2^2
------------------------------
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D1-x%2C%28x%2B1%29%5E2%2B%28y-4%29%5E2%3D4%5D
Ciao,
Determiniamo la distanza del centro C dalla retta
$d(C;retta)=\frac{|ax_{C}+by_{C}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$=\frac{|-1+4-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$=\frac{|2|}{\sqrt{2}}$
$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
Dunque:
$d(C;retta)=h=\sqrt{2}$
Detti $A$ e $B$ i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta, il triangolo $ABC$ è un triangolo isoscele, in quanto i lati AC e BC sono i raggi della circonferenza. Ù
Possiamo perciò applicare il teorema di Pitagora per determinare il raggio della circonferenza, ricordando che $\overline{AB}=2\sqrt{2}$ , ovvero la corda staccata dalla circonferenza sulla retta:
$r=\overline{AC}= \sqrt{\left ( \frac{\overline{AB}}{2} \right )^{2}+h^{2}}=$
$ = \sqrt{\left ( \frac{2\sqrt{2}}{2} \right )^{2}+\left (\sqrt{2} \right )^{2}}=$
$= \sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^{2}+\left (\sqrt{2} \right )^{2}}=$
$= \sqrt{2+2}=\sqrt{4}$
Conoscendo centro e raggio, posso facilmente determinare l equazione della circonferenza:
$(x+1)^2+(y-4)^2=\left (\sqrt{4} \right )^{2}$
$x^2+2x+1+y^2-8y+16=4$
$x^2+y^2+2-8y+17-4=0$
$x^2+y^2+2-8y+13=0$
saluti ?
grazieee a tutti ?