[Risolto] Rette tangenti ad una circonferenza

Dati un punto $P(x_0,y_0)$ e una circonferenza qualsiasi di equazione:

$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

si possono presentare i tre seguenti casi:

1. Il punto P è esterno alla circonferenza.
2. Il punto P appartiene alla circonferenza
3. Il punto P è interno alla circonferenza

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti passanti per P nei primi due casi (esterno o appartenente alla circonferenza) è possibile seguire due metodi.

Primo metodo:

Si procede nel seguente modo:

• Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per $P,y-y_0=m(x-x_0)$
• Si scrive il sistema delle equazioni del fascio e della circonferenza:

• Si ricava la y nell’equazione del fascio di rette e si sostituisce nell’equazione della circonferenza, ottenendo un’equazione di secondo grado nella variabile x i cui coefficienti sono funzioni del parametro m
• Si pone la condizione di tangenza, ossia , in quanto, affinché la retta P sia tangente alla circonferenza, è necessario che l’equazione risolvente ammetta due soluzioni coincidenti
• Si risolve l’equazione di secondo grado rispetto a m, ottenuta ponendo

Se il punto P è esterno alla circonferenza, si ha  e le rette tangenti sono due.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, si ha $m_1=m_2$ e le retta tangente è una sola (o due coincidenti)

 

Secondo metodo: Distanza retta-centro uguale al raggio

• Si determinano le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza.
• Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per P in forma implicita:

• Si applica la formula della distanza di un punto da una retta per esprimere la distanza dal centro C da una generica retta del fascio.
• Si  pone tale distanza uguale al raggio e si risolve l’equazione in m.
• Si sostituisce il valore o i valori trovati in m nell’equazione del fascio di rette.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, oltre ai due a questi due metodi si può applicare anche i seguenti:

 

Terzo metodo: Retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC

• Si determinano le coordinate del centro C della circonferenza.
• Si trova il coefficiente angolare m della retta r passante per $P$ e per $C$.
• Si calcola il coefficiente angolare   della rette perpendicolare a r.

$$y-y_0=m'(x-x_0)'$$

• Si scrive l’equazione della tangente: 

 

Quarto metodo: Formule di sdoppiamento

• Si scrive l’equazione della circonferenza
• Se il punto P ha coordinate $(x_0;y_0)$, si eseguono le sostituzioni

           

     

• Si può dimostrare che l’equazione della retta tangente è: