[Risolto] Rette

• proprio/improprio.

riscriviamolo nella forma che evidenza le generatrici. 2y-3+k(x+y+1)=0

Poniamo a sistema le due generatrici per determinare le coordinate del centro del fascio

{2y-3=0

{x+y+1=0

La cui unica soluzione è x=-5/2 & y=3/2.

Le coordinate del centro sono C(-5/2,3/2)

Si tratta quindi di un fascio proprio.

a. retta parallela all'asse y

Le rette parallele all'asse y sono della forma x=k, con k costante reale. Notiamo che non deve essere presente la componente in y quindi il suo coefficiente deve essere nullo

2+k = 0

k=-2

a cui corrisponde la retta x=-5/2

b. Passante per P(-1,2)

determiniamo quale k rende l'identità vera

-k+(2+k)2-3+k=0

k=-1/2

a cui corrisponde la retta x-3y+7=0

c. retta del fascio // alla retta r: 2x-3y+1=0

• Il coefficiente angolare della retta r: m=2/3

infatti scritta in forma implicita y = (2/3)x+1/3 ⇒ m=2/3

• Coefficiente angolare generica retta del fascio

forma implicita y=-k/(2+k)x+(3-k)/(2+k) ⇒ m' = -k/(2+k)

eguagliamo i due coefficienti angolari

-k/(2+k) = 2/3

k = -4/5

a cui corrisponde la retta 4x-6y+19=0

d. retta del fascio ┴ s: 2x-y-2=0

• Il coefficiente angolare della retta s: m=2

infatti scritta in forma implicita y = 2x-2 ⇒ m=2

• Coefficiente angolare generica retta del fascio

forma implicita y=-k/(2+k)x+(3-k)/(2+k) ⇒ m' = -k/(2+k)

Imponiamo la condizione di ortogonalità cioè m*m'=-1

2*(-k)/(2+k) = -1 

k = 2

a cui corrisponde la retta y=-x/2+1/4

@luana456

benvenuta. Poniamo k=0 e poi k=1 e mettiamo a sistema le rette ottenute.

{2y-3=0

{x+3y-2=0 si  osserva fascio proprio.

Risolvo 

{y=3/2

{x+9/2-2=0

quindi C(-5/2, 3/2)

a) parallela asse y

nel fascio deve mancare y

2+k=0—————> k=-2

-2x-3-2=0 ———->-2x=5  ————> x=-5/2 d’altronde deve passare per C!

b) passaggio per 2 punti:

(-5/2,3/2)

(-1,2)

(y-3/2)/(x+5/2)=(2-3/2)/(-1+5/2)

2y-3=1/3*(2x+5) ————>2y=2/3*x+5/3+3

y=1/3*x+5/6+3/2 

y=1/3*x+7/3————->-x+3y=7

c) parallela a 2x-3y+1=0

2x-3y+q=0

C(-5/2,3/2)

2(-5/2)-3(3/2)+q=0————->q=19/2

4x-6y+19=0

d) y=2x-2 m=2 quindi

y=-1/2x+q

passa per C : 3/2=5/4+q       q=1/4

y =-1/2*x+1/4—————>2x+4y-1=0

Il fascio
* r(k) ≡ k*x + (k + 2)*y + (k - 3) = 0
avendo parametrici tutt'e tre i coefficienti può avere rette sia parallele a ciascun asse coordinato che per l'origine
* r(- 2) ≡ - 2*x + (- 2 + 2)*y + (- 2 - 3) = 0 ≡ x = - 5/2 (parallela all'asse y [quesito a])
* r(0) ≡ 0*x + (0 + 2)*y + (0 - 3) = 0 ≡ y = 3/2 (parallela all'asse x)
* r(3) ≡ 3*x + (3 + 2)*y + (3 - 3) = 0 ≡ y = - (3/5)*x (per l'origine)
quindi è proprio e centrato in C(- 5/2, 3/2) [quesito preliminare].
Per ogni k != - 2 è lecita la scrittura
* r(k) ≡ y = - (k/(k + 2))*x - (k + 3)/(k + 2)
che evidenzia la pendenza
* m(k) = - k/(k + 2)
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La retta
* 2*x - 3*y + 1 = 0 ≡ y = (2*x + 1)/3
ha pendenza m = 2/3, come tutte le sue parallele; quindi da
* m(k) = - k/(k + 2) = 2/3 ≡ k = - 4/5
si ha
* r(- 4/5) ≡ (- 4/5)*x + (- 4/5 + 2)*y + (- 4/5 - 3) = 0 ≡ y = (4*x + 19)/6
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La retta
* 2*x - y - 2 = 0 ≡ y = 2*(x - 1)
ha pendenza m = 2; tutte le sue perpendicolari hanno la pendenza antinversa m' = - 1/2; quindi da
* m(k) = - k/(k + 2) = - 1/2 ≡ k = 2
si ha
* r(2) ≡ 2*x + (2 + 2)*y + (2 - 3) = 0 ≡ y = (1 - 2*x)/4
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Infine da
* r(k) ≡ k*(- 1) + (k + 2)*2 + (k - 3) = 0 ≡ k = - 1/2
si ha
* r(- 1/2) ≡ (- 1/2)*x + (- 1/2 + 2)*y + (- 1/2 - 3) = 0 ≡ y = (x + 7)/3