Retta tangente e normale

La retta tangente ha equazione: Y - Yp = f'(Xp)(X - Xp) 

Il punto P di ascissa 3, sostituendo nella funzione, si ottiene ordinata -2: P(3,-2)
Il coefficiente angolare è la derivata della funzione nel punto P. La derivata della funzione y è:

y= - 3/(x-4)^2

Quindi: m = f'(3)= - 3

La retta tangente avrà equazione: y+2 = -3(x-3) --> y=-3x+7

L'altra tangente al grafico della nostra funzione è parallela alla retta appena trovata e quindi avrà equazione:

y= -3x+q

Bisogna calcolare q e lo si va mettendo a sistema retta e curva e ponendo il delta uguale a zero:

y=(x-1)/(x-4)

y= -3x+q

Da questo sistema, si ottiene: -3x^2+x(11+q)-4q+1=0
La condizione di tangenza è delta uguale a zero, cioè:

(11+q)^2 - 4(-3)(1-4q)=0 da cui --> q^2-26q+133=0 che risolta da: q = 7, che già sappiamo, e q = 19

La seconda retta tangente dunque ha equazione y= -3x+19 e messa a sistema con la curva:

y=(x-1)/(x-4)

y= -3x+19

Dà il punto di coordinate (5,4)