[Risolto] Retta tangente ad una curva

il coefficente angolare di tale retta è dato da $y'(0)$ dobbiamo quindi calcolare $\frac{d}{dx}\left[e^{\sqrt{\left(\ln\left(x+1\right)\right)^{2}+\arctan\left(3x\right)+1}}\right]+\frac{d}{dx}\left[\left(\cos x\right)^{3}\right]$ in 0, è evidente che il contributo del secondo termine è nullo, proviamo ora a calcolare in modo furbo il primo: ricordandoci per esempio che per $x \to 0$ si ha $\ln\left(x+1\right)=\arctan\left(x\right)=x+o\left(x\right)$ da cui $\left(\ln\left(x+1\right)\right)^{2}+\arctan\left(3x\right)+1=x^{2}+o\left(x^{2}\right)+3x+o\left(x\right)+1=1+3x+o\left(x\right)$ dunque $\frac{d}{dx}\left[e^{\sqrt{\left(\ln\left(x+1\right)\right)^{2}+\arctan\left(3x\right)+1}}\right]=\frac{d}{dx}e^{\sqrt{3x+o\left(x\right)+1}}=\frac{e^{\sqrt{3x+o\left(x\right)+1}}}{2\cdot\sqrt{3x+o\left(x\right)+1}}\cdot\left(3+o\left(1\right)\right)$ che per $x \to 0$ diventa banalmente $\frac{3}{2}e$ dunque la nostra retta sarà della forma $\left(\frac{3}{2}e\right)\cdot x+c$ e per determinare $c$ basta calcolare $y(0)=e+1$ in definitiva la retta cercata è $\left(\frac{3}{2}e\right)\cdot x+e+1$.