Retta tangente

Ti consiglio di seguire la risoluzione usando questo grafico interattivo.

Se vuoi solo un'immagine, ma non necessariamente la piena libertà di modificare $t$ (anche se mi piacerebbe che lo guardassi perché è stato abbastanza impegnativo da realizzare), ecco un embed del grafico (ti basta trascinare $P$ lungo $\gamma$)

$\textbf{a.}$

Notiamo che il triangolo $AOP$ ha il lato $\overline{AO}$ giacente sull'asse $y$, l'altezza relativa a questa base è la perpendicolare all'asse $y$ passante per $P$, possiamo calcolare la lunghezza sfruttando il parallelismo con gli assi come $t-0=t$, calcoliamo ora la lunghezza della base, iniziamo calcolando le coordinate di $A$ sapendo che giace sull'asse $y$, in particolare l'intersezione fra l'asse e la tangente passante per $P$ (la retta $r$):

$y-f(t)= f'(t)(x-t)$

$f(t)=t^{-2} \implies f'(t) = -\frac{2}{t^3}$ per la regola delle potenze.

Sapendo che $A_x=0$ sostituiamo e risolviamo per $A_y$:

$A_y=t-f'(t)t=f(t)-f'(t)t=\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t^3} \cdot t = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^2} = \frac{3}{t^2}$

Possiamo finalmente calcolare $S_1=\frac{1}{2} A_y P_x = \frac{1}{2} \frac{3}{t^2} \cdot t = \frac{3}{2t}$.

$\textbf{b.}$

Analogamente notiamo che il lato $\overline{OB}$ di questo triangolo giace sull'asse $x$, quindi l'altezza è la perpendicolare all'asse passante per $P$ la cui lunghezza possiamo calcolare facilmente perché è parallela all'asse $y$, sarebbe infatti $f(t)$. Calcoliamo la base sapendo che il coefficiente angolare della retta passante per $P$ che individua $B$ sull'asse $x$ è perpendicolare a quello della tangente (per definizione), quindi sarebbe $-\frac{1}{f'(t)}$, allora scriviamo che la retta $n$ ha equazione:

$y-f(t)=-\frac{1}{f'(t)}(x-t)$

Sapendo che $B$ giace sull'asse $x$, la sua ordinata sarà $0$ quindi sostituiamo nell'equazione per trovare $B_x$:

$f(t)= \frac{1}{f'(t)}(B_x-t)$

$B_x=f'(t)f(t)+t= -\frac{2}{t^3}\cdot \frac{1}{t^2} + t = t-\frac{2}{t^5}=|\frac{t^6-2}{t^5}|$

La lunghezza della base $\overline{OB}$ è semplicemente $|B_x-0|=|B_x|$, quindi possiamo calcolare $S_2=\frac{1}{2}B_x P_y = \frac{1}{2} |\frac{t^6-2}{t^5}| \frac{1}{t^2}=|\frac{t^6-2}{2t^7}|$.

$\textbf{c.}$

Calcoliamo il limite $L= \lim_{t \to + \infty} \frac{S_1}{S_2}$ esprimendo le superfici in funzione di $t$:

$L= \lim_{t \to + \infty} \frac{3}{2t} \cdot \frac{2t^7}{|t^6-2|} = \frac{3t^6}{|t^6-2|}$ (il valore assoluto al numeratore è superfluo perché esso è sempre positivo) facciamo un cambio di variabile $a=|t^6-2|$ quindi calcoliamo $L= \lim_{a \to + \infty}\frac{3(a+2)}{a}= \lim_{a \to + \infty}\frac{3a+6}{a}= \lim_{a \to + \infty} 3+ \frac{6}{a} = 3$.

Tecnicamente $t^6=2\pm a$, però dato che $a$ tende a $+ \infty$ è inutile preoccuparsi del caso $0<t<\sqrt[6]{2}$.