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[Risolto] Retta e parabola tangenti

  

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La retta di equazione y=mx+5 e la parabola di equazione y=-x²-2x+c sono tangenti in un punto di ascissa -2. Determina m e c.

Soluzioni: m=2 e c=1

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Per x =2 le due funzioni hanno stessa ordinata:

m·(-2) + 5 = - (-2)^2 - 2·(-2) + c----> c = 5 - 2·m

Metto quindi a sistema:

{y = - x^2 - 2·x + (5 - 2·m)

{y = m·x + 5

procedo per sostituzione:

- x^2 - 2·x + (5 - 2·m) = m·x + 5

x^2 + 2·x + 2·m + m·x = 0

x^2 + x·(m + 2) + 2·m = 0

applico le condizioni di tangenza: Δ = 0

(m + 2)^2 - 8·m = 0----> m^2 - 4·m + 4 = 0

(m - 2)^2 = 0-----> m = 2

c = 5 - 2·2-----> c = 1

 

 



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La parabola
* y = - x^2 - 2*x + c
ha pendenza
* m(x) = - 2*(x + 1)
che all'ascissa di tangenza vale
* m(- 2) = 2
Per avere la tangenza occorre e basta che la retta abbia pendenza due (m = 2) e che entrambe le curve abbiano eguale ordinata per x = - 2
* (m = 2) & (m*(- 2) + 5 = - (- 2)^2 - 2*(- 2) + c) ≡
≡ (m = 2) & (2*(- 2) + 5 = c) ≡
≡ (c = 1) & (m = 2)



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