Retta con parametri

• Esplicitiamo la retta r:  $ y = -2x -\frac{3}{4} $
  • Il coefficiente angolare vale $ m_r = -2$

a.  P(k, k+3) giace su r:

Introduciamo le coordinate di P nell'equazione della retta e determiniamo il valore di k che rende vera l'uguaglianza

$ k+3 = -2k- \frac{3}{4} $

$ k = -\frac{5}{4} $

b.   

• il coefficiente angolare di r: vale $m_r = -2$
  • la retta per essere perpendicolare deve avere un coefficiente angolare $\bar{m} = \frac{1}{2} $ Infatti $ m_r \cdot \bar{m} = -1 $
• Le rette perpendicolari a r: hanno la forma $  y = \frac {x}{2} + c $
  • Quella che passa per Q deve soddisfare $ 4 =  -\frac {2}{2} + c $ per cui c = 5
  • La retta perpendicolare a r: che passa per Q è $ y = \frac {x}{2} + 5 $
• Determiniamo il valore di k che rende vera l'uguaglianza con le coordinate di P
  • $ k+3 = \frac{k}{2}+5 \; ⇒ \; k = 4 $

c.  retta $ r_{pq}: $ cioè la retta che passa per i due punti.

Si tratta di applicare la formula della retta per due punti e si deve ottenere

$  r_{pq}: \quad y = \frac{k-1}{2+k}x + \frac{6(1+k)}{2+k} $

• I coefficienti angolari $\bar{m}$ di tali rette sono date dalla 
  • $ \bar{m} =  \frac{k-1}{2+k} $
• Le due rette saranno parallele se i due coefficienti angolari saranno eguali

$ m_r = \bar{m} $

$ -2 = \frac{k-1}{2+k} $

$ k = -1$