REALTA' E MODELLI, DERIVABILITA'

$\textbf{a.}$
L'altezza $f(x)$ dell'arcata si ottiene ovviamente nel punto di simmetria di ascissa $x=0$, quindi:

$h=f(0)=\frac{20}{3}\sqrt{-0^2-2|0|+35} = \frac{20}{3}\sqrt{35} \approx 40$

($\frac{20}{3}\sqrt{35} = 39.33053189...$)

$\textbf{b.}$

Analizziamo anzitutto il dominio della funzione, che è determinato dalla condizione di esistenza del radicando $\sqrt{-x^2-2|x|+35}$:

$-x^2-2x+35 \geq 0$ per $x \geq 0$

$x^2+2x-35 \leq 0$

$(x+7)(x-5) \leq 0 \implies -7 \leq x \leq 5$ tuttavia avevamo considerato il caso in cui $x \geq 0$, quindi $0 \leq x \leq 5$

Adesso consideriamo il caso in cui $x <0$:

$-x^2+2x+35 \geq 0$

$x^2-2x-35 \leq 0$

$(x-7)(x+5) \leq 0 \implies -5 \leq x \leq 7$ che in definitiva risulta $-5 \leq x <0$, uniamo i due intervalli e otteniamo il dominio della funzione come $-5 \leq x \leq 5$.

Verifichiamo se la funzione è derivabile in $x=0$ sfruttando la definizione di valore assoluto:

$y=\begin{cases} \frac{20}{3} \sqrt{-x^2-2x+35}\ se\ x \geq 0 \\ \frac{20}{3} \sqrt{-x^2+2x+35}\ se\ x <0 \end{cases}$

allora deriviamo $f(x)$

$f'(x) = \begin{cases} -\frac{20(x+1)}{3\sqrt{-x^2-2x+35}}\ se\ x \geq 0 \\  \frac{20(1-x)}{3\sqrt{-x^2+2x+35}}\ se\ x<0 \end{cases}$

Per verificare che la derivata esiste in $x=0$ proviamo a sostituire $x=0$ in entrambe le espressioni. Notiamo che otteniamo risultati differenti ($\frac{4\sqrt{35}}{21}, -\frac{4\sqrt{35}}{21}$)

($f'(x)$ non è definita per $x=0$ per il punto angoloso)

Le condizioni di esistenza sui denominatori sono le stesse che abbiamo posto sul dominio di $f(x)$, solo che non possiamo accettare il caso in cui il denominatore è uguale a $0$, quindi $0 < x < 5$  e $-5 < x <0$. Come vedi, le derivate della funzione non sono calcolabili in corrispondenza di $x= \pm 5$ perché $f'(x)$ tende a $\pm \infty$ in quei valori (a causa della divisione di un numero per il denominatore che è 0 in questo caso), quindi non sono derivabili perché saremmo in presenza di tangenti verticali.