Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Il teorema di Rolle dice che se la funzione è continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b), se f(a)=f(b) allora esiste un punto c di (a,b) tale che f'(c)=0.
Per il teorema di Fermat, un punto di massimo o di minimo è un punto in cui la derivata prima si annulla. Dunque il punto c è un punto di massimo o minimo della funzione.
Le tre condizioni sono soddisfatte nel grafico a, dove abbiamo due massimi e un minimo e quindi tre punti c1, c2 e c3 che verificano il teorema di Rolle, e nel grafico b dove abbiamo un solo punto di massimo.
Nel grafico c non è verificata f(a)=f(b)
Nel grafico d la funzione non è continua.
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Livello 1
@immenso il grafico di $b$ non è derivabile in un certo punto compreso tra $a$ e $b$
@immenso Concordo con Gabo. Il grafico ammette una punto con tangente verticale, cioè forma con l'asse delle ascisse un angolo pari a C.
tan(π/2) non è un numero reale "finito"
La definizione di derivata richiede che il limite del rapporto incrementale sia finito; conclusione in quel punto x₀∈(a,b) del grafico b la funzione NON è derivabile; Rolle non è applicabile.
La dimostrazione del Teorema di Rolle si basa sul Teorema di Weierstrass e sul Teorema di Fermat. In un intervallo chiuso e limitato [a, b] in cui una funzione f è continua, derivabile e f(a) = f(b), la funzione ammette un massimo e un minimo assoluto. Se il massimo e il minimo sono agli estremi (f(a) = f(b)), la funzione è costante, e la derivata è nulla ovunque. Altrimenti, massimo o minimo sono interni all'intervallo (a, b), e per il Teorema di Fermat esiste almeno un punto c interno all'intervallo dove la derivata si annulla.
La funzione deve essere continua ed f(a) = f(b);
c e d non vanno bene.
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Genius II