DERIVABILITA'

Problema:

Dimostra che la funzione $f(x)=x|x|$ è derivabile per ogni $x \in \mathbb{R}$ ma la sua derivata seconda $f^{(2)}(x)$ esiste solo per $x \neq 0$.

Soluzione:

La problematica è il valore assoluto; si osserva dunque come si comporta la derivata.

Per $x>0$ si ha $f'(x)=2x$, mentre per $x<0$ si ha $f'(x)=-2x$. La funzione è derivabile se ammette derivata continua, bisogna dunque mostrare che il limite destro e sinistro coincidono.

$\lim_{x \to 0^-} (-2x )=0$

$\lim_{x \to 0^+} (2x)=0$.

Poiché i limiti coincidono, la funzione associata alla derivata è continua su tutto $\mathbb{R}$.

È necessario ora analizzare la derivata seconda per richiesta del quesito.

Per $x>0$ si ha che $f^{(2)}(x)=D(2x)=2$, mentre per $x<0$ si ha che $f^{(2)}(x)=D(-2x)=-2$. Si osserva se vale la continuità.

$\lim_{x \to 0^-} (-2 )=-2$

$\lim_{x \to 0^+} (2)=2$.

Poiche $2 \neq -2$, la funzione associata alla derivata seconda non è continua e dunque esiste solo in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.