a. Sapendo che la funzione rappresenta la densità di probabilità di una variabile aleatoria continua $X$, determina $a$ e $b$.
b. Per la densità di probabilità così determinata, calcola il valore medio e scrivi l'espressione della funzione di ripartizione $F(x)$.
c. Stabilisci se è maggiore la probabilità che $\frac{1}{2} \leq X<1$ o la probabilità che $X \geq \frac{3}{2}$.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Determino a e b
√x
calcolo il suo integrale fra x=0 ed x=1:
∫√x dx = 2/3
calcolo l'integrale di:
a/x^3 + b/x^4
fra x=1 ed x → +∞ ed ottengo:
∫(a/x^3 + b/x^4) dx = a/2 + b/3 = 1/3
(deve valere 1/3 perché f(x) è distribuzione di probabilità!)
a/1^3 + b/1^4 = 1 (quindi f(1)=1: vedi grafico)
Risolvo il sistema:
{a/2 + b/3 = 1/3
{a + b = 1
Risolvo ed ottengo:[a = 0 ∧ b = 1]
y=f(x)=
{0 per x < 0
{√x per 0 ≤ x < 1
{1/x^4 per x ≥ 1
----------------------------------------------
Calcolo valore medio μ della distribuzione
∫(x·√x) dx = 2/5
valutato da x=0 ad x=1
poi
x·1/x^4 = 1/x^3
valuto il suo integrale fra x=1 ed x → +∞
∫(1/x^3) dx =1/2
μ = 2/5 + 1/2------> μ = 9/10
Calcolo funzione di ripartizione
F(x)=
{0 per x < 0
{∫ √x dx = 2·x^(3/2)/3 per 0 ≤ x < 1
Determino la condizione iniziale ultimo tratto:
per x = 1: 2·1^(3/2)/3= 2/3--->[1, 2/3]
∫(1/x^4) dx = - 1/(3·x^3) + c
- 1/(3·1^3) + c = 2/3----> c = 1
F(x)=
{0 per x < 0
{2·x^(3/2)/3 per 0 ≤ x < 1
{- 1/(3·x^3) + 1 per x ≥ 1
----------------------------------------------
P(1/2 ≤ X < 1)
(dalla funzione di ripartizione)
2·1^(3/2)/3= 2/3
2·(1/2)^(3/2)/3 = √2/6
2/3 - √2/6 = 0.4309644062
43.1%
P(X ≥ 3/2)
LIM(- 1/(3·x^3) + 1) = 1
x---> +∞
- 1/(3·(3/2)^3) + 1 = 73/81
1 - 73/81 = 8/81 = 0.09876543209
0.1%
115470
punti
Genius III
