Caro Antonio, anzitutto benvenuto!
E, subito dopo, complimenti per l'understatement "A questo punto, ignoro qualcosa"!
A regolarsi solo su ciò che scrivi in questa tua prima domanda, di cose ne ignori un bel po'. Qui di seguito te ne elenco qualcuna, fra quelle che ho notato a colpo d'occhio, in ordine ascendente di gravità; perciò quelle sul rapporto incrementale te le dico alla fine.
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Secondo le prescrizioni del
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito (che tu, palesemente, non hai degnato di un'occhiata) hai commesso un po' di violazioni formali e un paio di sostanziali.
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«Art. 2.3 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente...»
* "ignoro qualcosa......" tre puntini sono UN UNICO segno d'interpunzione; Alessandro Manzoni ne usava quattro, ma era Lui! Però la grammatica ne sancisce tre.
* "(〖f(x+h)〗^n-x^n)/h" né la legatura "quadratello-parentesi" aperti né quella "parentesi-quadratello" chiusi appartengono alla sintassi delle espressioni algebriche.
* "apparentemente sembrano": è poco probabile sembrare sostanzialmente.
* "Mi attanaglia una considerazione": eh, no! Sono i dubbi ad attanagliare.
* "risolvere la frazione": le frazioni non sono né problemi né equazioni né enigmi; non si possono risolvere perché non presentano nulla di incognito.
* "Sono giorni che sto cercando": mentre l'iperbole è una figura retorica di tutto rispetto, purtuttavia la si deve usare in modi proporzionati al contesto; l'iperbole esagerata è un antico espediente comico del teatro dell'arte (Arlecchino & C.), ma in un contesto matematico stona assai.
CONCLUSIONE: questo testo è stato scritto IN ITALIANO NON CORRETTO, troppo in fretta, senza badare al disagio del lettore; è sgradevole da vedere e da leggere.
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Ti cito estratti, per brevità.
«Art. 1.1» SosMatematica.it è uno spazio pubblico per lo scambio di consigli e aiuti sui temi della matematica e delle sue applicazioni.
«Art. 1.3» NON è un servizio per lo svolgimento di esercizi e problemi.
«Art. 2.3» Il testo dei problemi va scritto esplicitamente.
Devi trascrivere la consegna parola per parola.
Invece tu parli del tuo dubbio, scrivi "per la risoluzione del problema, la h dovrebbe", ma non nomini neppure in quale contesto ti sia sorto il dubbio né quale sia il problema per cui "la h dovrebbe": qual era l'esercizio che dovevi svolgere?
CONCLUSIONE: dovendolo dedurre io è ovvio che la mia scelta è arbitraria.
Da ciò che scrivi penso che l'esercizio chiedesse di dimostrare, applicando la definizione, che la derivata della funzione "potenza di base reale ad esponente naturale" è una di quelle riportate nella "Tavola delle Derivate Fondamentali".
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DEFINIZIONE
Si definisce funzione derivata
* f'(x) = D[f(x)] = d/dx f(x)
della funzione f(x) il limite, se esiste, del suo rapporto incrementale
* r(x, h) = (f(x + h) - f(x))/h
per incremento infinitesimo
* f'(x) = lim_(h → 0) r(x, h) = lim_(h → 0) (f(x + h) - f(x))/h
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TUA IMPRESSIONE ERRATA AL RIGUARDO
"la h dovrebbe essere un numero senz'altro variabile, di segno positivo, che si sposta sull'asse delle ascisse."
* h è una variabile numerica (esatto!)
* h è di segno positivo (ma quando mai! dove l'hai letto?)
* h si sposta sull'asse delle ascisse (ma quando mai! variabile che si sposta?)
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APPLICAZIONE alla funzione "potenza di base reale ad esponente naturale"
* f(x) = x^n
* r(x, h) = ((x + h)^n - x^n)/h = (x + h)^n/h - x^n/h
sviluppando la potenza di binomio secondo la riga #n del Triangolo di Tartaglia si ha
* (x + h)^n = x^n + n*h*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 1) + h^n =
= x^n + h*(n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
quindi
* (x + h)^n/h = x^n/h + (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
* r(x, h) = (x^n/h + (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))) - x^n/h =
= (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
e infine
* f'(x) = lim_(h → 0) r(x, h) =
= lim_(h → 0) (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1)) =
= n*x^(n - 1)
