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[Risolto] rapporto incrementale

  

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(〖f(x+h)〗^n-x^n)/h

Sono giorni che sto cercando di risolvere la frazione.

Ho tentato con la derivata del quoziente con quella della differenza, ma il risultato trovato non coincide con quello riportato dal testo di riferimento.

Mi attanaglia una considerazione:

h, geometricamente, rappresenta il delta x ed, automaticamente f(x+h) - f(x) rappresenta il nostro delta y.

Ma, per la risoluzione del problema, la h dovrebbe essere un numero senz'altro variabile, di segno positivo, che si sposta sull'asse delle ascisse.

Potreste indicare tutti i passaggi?

Anche quelli, che apparentemente sembrano superflui?

A questo punto, ignoro qualcosa......

Grazie in anticipo.

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Caro Antonio, anzitutto benvenuto!
E, subito dopo, complimenti per l'understatement "A questo punto, ignoro qualcosa"!
A regolarsi solo su ciò che scrivi in questa tua prima domanda, di cose ne ignori un bel po'. Qui di seguito te ne elenco qualcuna, fra quelle che ho notato a colpo d'occhio, in ordine ascendente di gravità; perciò quelle sul rapporto incrementale te le dico alla fine.
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Secondo le prescrizioni del
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito (che tu, palesemente, non hai degnato di un'occhiata) hai commesso un po' di violazioni formali e un paio di sostanziali.
---------------
«Art. 2.3 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente...»
* "ignoro qualcosa......" tre puntini sono UN UNICO segno d'interpunzione; Alessandro Manzoni ne usava quattro, ma era Lui! Però la grammatica ne sancisce tre.
* "(〖f(x+h)〗^n-x^n)/h" né la legatura "quadratello-parentesi" aperti né quella "parentesi-quadratello" chiusi appartengono alla sintassi delle espressioni algebriche.
* "apparentemente sembrano": è poco probabile sembrare sostanzialmente.
* "Mi attanaglia una considerazione": eh, no! Sono i dubbi ad attanagliare.
* "risolvere la frazione": le frazioni non sono né problemi né equazioni né enigmi; non si possono risolvere perché non presentano nulla di incognito.
* "Sono giorni che sto cercando": mentre l'iperbole è una figura retorica di tutto rispetto, purtuttavia la si deve usare in modi proporzionati al contesto; l'iperbole esagerata è un antico espediente comico del teatro dell'arte (Arlecchino & C.), ma in un contesto matematico stona assai.
CONCLUSIONE: questo testo è stato scritto IN ITALIANO NON CORRETTO, troppo in fretta, senza badare al disagio del lettore; è sgradevole da vedere e da leggere.
---------------
Ti cito estratti, per brevità.
«Art. 1.1» SosMatematica.it è uno spazio pubblico per lo scambio di consigli e aiuti sui temi della matematica e delle sue applicazioni.
«Art. 1.3» NON è un servizio per lo svolgimento di esercizi e problemi.
«Art. 2.3» Il testo dei problemi va scritto esplicitamente.
Devi trascrivere la consegna parola per parola.
Invece tu parli del tuo dubbio, scrivi "per la risoluzione del problema, la h dovrebbe", ma non nomini neppure in quale contesto ti sia sorto il dubbio né quale sia il problema per cui "la h dovrebbe": qual era l'esercizio che dovevi svolgere?
CONCLUSIONE: dovendolo dedurre io è ovvio che la mia scelta è arbitraria.
Da ciò che scrivi penso che l'esercizio chiedesse di dimostrare, applicando la definizione, che la derivata della funzione "potenza di base reale ad esponente naturale" è una di quelle riportate nella "Tavola delle Derivate Fondamentali".
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DEFINIZIONE
Si definisce funzione derivata
* f'(x) = D[f(x)] = d/dx f(x)
della funzione f(x) il limite, se esiste, del suo rapporto incrementale
* r(x, h) = (f(x + h) - f(x))/h
per incremento infinitesimo
* f'(x) = lim_(h → 0) r(x, h) = lim_(h → 0) (f(x + h) - f(x))/h
---------------
TUA IMPRESSIONE ERRATA AL RIGUARDO
"la h dovrebbe essere un numero senz'altro variabile, di segno positivo, che si sposta sull'asse delle ascisse."
* h è una variabile numerica (esatto!)
* h è di segno positivo (ma quando mai! dove l'hai letto?)
* h si sposta sull'asse delle ascisse (ma quando mai! variabile che si sposta?)
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APPLICAZIONE alla funzione "potenza di base reale ad esponente naturale"
* f(x) = x^n
* r(x, h) = ((x + h)^n - x^n)/h = (x + h)^n/h - x^n/h
sviluppando la potenza di binomio secondo la riga #n del Triangolo di Tartaglia si ha
* (x + h)^n = x^n + n*h*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 1) + h^n =
= x^n + h*(n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
quindi
* (x + h)^n/h = x^n/h + (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
* r(x, h) = (x^n/h + (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))) - x^n/h =
= (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1))
e infine
* f'(x) = lim_(h → 0) r(x, h) =
= lim_(h → 0) (n*x^(n - 1) + ... + n*x*h^(n - 2) + h^(n - 1)) =
= n*x^(n - 1)

and the winner is... @exProf !! TOP TOP TOP!!

 




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Scusami, ma quale è la f(x)? da come hai scritto il rapporto incrementale dovrebbe essere $f(x)=x^n$, ma in quel caso il rapporto incrementale verrebbe:

$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$

ora arriva il problema: $n$ è generico oppure è un numero nel tuo problema?

Se è generico direi che un possibile approccio possa essere lo sviluppo di $(x+h)^n$ mediante il binomio di Newton. 

Grazie mille.

Potrebbe indicarmi lo svolgimento, paso per passo?

@antonio_sessa

se non mi tagghi non mi arriva nessuna notifica che mi hai risposto. i passaggi te li ha già fatti tutti @exProf , quindi mi sembra inutile rifarli 🙂

Ciao

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@antonio_sessa

Ciao. Qual è il tuo problema? Sinceramente non l'ho capito. Vuoi forse dimostrare attraverso il limite del rapporto incrementale, che la derivata della funzione y=x^n è pari a y'=dy/dx= n*x^(n-1) ?




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