[Risolto] Quiz Equazioni di secondo grado

Esercizio 1
Le radici dell’equazione $3x^2 + bx + c = 0 $ sono 2 e –1. Il trinomio $3x^2 + bx + c$ ammette pertanto la seguente scomposizione in fattori:

A    3(x – 2)(x + 1)

sì!  infatti le radici sono i numeri da mettere al posto della $x$ per ottenere $0$. Quando un                   polinomio ha due radici $\alpha$ $\beta$, esso si può scomporre in fattori del tipo   
$(x-\alpha)(x-\beta)$. Ma il coefficiente di $x^2$ è $3$, quindi questo $3$ dovrà pur                             comparire da qualche parte!
Infatti il polinomio generico $a x^2+bx+c = 0 $ si può scomporre come $a(x-x_1)(x-x_2)$                   dove $x_1$ e $x_2$ sono le radici.

B     (x – 2)(x + 1)

 No! Non c'è il $3$, ma comunque è corretta la scomposizione delle radici. 

C     (x + 2)(x – 1)

No! Le radici vanno sempre cambiate di segno nella scomposizione.

D     3(x + 2)(x – 1)

No! 

E      3(x – 2)(x – 1)             

 No!     

Esercizio 2                               

1. Spiega perché, nell’equazione $2x^2 + x = k$, il termine al membro destro corrisponde all’opposto del doppio del prodotto delle radici dell’equazione.

         Le radici sono: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{ 1-8k}}{4} $

           $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{ 1-8k}}{4}$

           $2 \cdot x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{ 1-8k}}{4} \cdot \frac{-1 + \sqrt{ 1-8k}}{4}$

$ \frac{-1 - \sqrt{ 1-8k}}{2} \frac{-1 + \sqrt{ 1-8k}}{4} = \frac{ (-1)^2 - (\sqrt{ 1-8k})^2}{8} $

$ \frac{1-1+8k }{8} = \frac{8k}{8} = k $

2. Senza calcolare le soluzioni, indica se l’equazione ammette soluzioni reali e distinte, reali coincidenti o non ammette soluzioni reali.

           x2 +3x – 28=0

         Basta calcolare il Delta! Infatti se $\Delta > 0 $ due soluzioni reali distinte, $\Delta = 0$ soluzioni           coincidenti, $\Delta < 0 $ non ammette soluzioni reali.
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(28) = 9- 4 \cdot 28 < 0$ nessuna soluzione reale.

3. Senza calcolare le soluzioni, indica se l’equazione ammette soluzioni reali e distinte, reali coincidenti o non ammette soluzioni reali.

        $3x^2 +4x – 1=0$

        Come prima, calcoliamo il Delta: $\Delta = b^2 -4ac = 4^2 - 4(3)(-1) = 16 + 12 > 0 $ ammette            due soluzioni reali distinte.

4. Risolvi l’equazione.

         $3x^2 + 2x – 1 = 0$

 

         Calcoliamo il Delta: $\Delta = b^2-4ac = 2^2-4(3)(-1) = 4 + 12  = 16 $
         Le due radici sono:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot 3} = {-2\pm 4}{6}$

$x_1 = -1 \ \vee x_2 = \frac13$

5. Determina per quali valori di k l’equazione x2 + kx – (k + 2) = 0 ammette radici reali e positive.

   Affinché ci siano soluzioni reali, l'equazione deve avere $\Delta > 0 $:
   $\Delta = b^2-4ac = k^2-4(1)(-(k+2)) = k^2 +4k+8 > 0 $

   Abbiamo una disequazione di secondo grado, che è sempre verificata (è irriducibile). Quindi l'equazione ha radici reali per ogni valore di k. 
   Affinchè siano positive: $x_1 > 0 $ e $x_2 > 0 $, quindi

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{\Delta}}{2}$

che corrisponde a 

$\begin{cases} - k - \sqrt{\Delta} > 0 \\ -k+\sqrt{\Delta} > 0 \end{cases} $

che ci dà $k \in (-2; 0) $

 

la risposta al primo quiz è la A. la soluzione alla seconda domanda è la seguente: nell'equazione "normalizzata" x^2+bx+c=0, il temrine noto c è il prodotto delle radici. quindi, nel nostro caso 2x^2+x-k=0 bisogna prima dividere per 2 in modo da ottenere x^2 + x/2 -k/2=0. Adesso il termine "c" vale -k/2, quindi -k/2 è il prodotto delle due radici --> -k è il doppio del prodotto e quindi K è l'opposto del doppio del prodotto.