Salve a tutti.
Ho difficoltà a trovare un approccio per risolvere il seguente quesito
Transcript:
Detta A(n) l'area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare
che A(n) = n/2 r^2 sin 2pi/n e calcolarne il limite per n -› infinito.
Come si potrebbe risolvere? Grazie per l'aiuto
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Livello 1
Il pentagono regolare inscritto nel cerchio serve solo per fissare le idee.
In generale l’angolo al vertice di ciascuno dei triangoli isosceli che si formano congiungendo il centro con ogni vertice del poligono è dato da: α = 2pi/n
L’altezza h di ogni triangolo isoscele vale: h = r·COS(α/2)------> h = r·COS(pi/n)
La base vale: b = 2·r·SIN(pi/n)
L’area vale A (n) = r^2·SIN(pi/n)·COS(pi/n)
Quindi: A (n)= 1/2r^2 SIN(2pi/n)
L’area del poligono vale A=n*A(n)= n/2r^2 SIN(2pi/n)
Il limite per n--->+inf
è pari a:
LIM(n/2·r^2·SIN(2·pi/n)) =pi·r^2
n--->+ ∞
Si deduce dal limite notevole:
LIM(SIN(α)/α) = 1
α----> 0
ponendo α =2·pi/n
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Genius II
@lucianop grazie mille 🙂
Di nulla. Buona serata.
