Determina il valore dei parametri reali $a$ e $b$ tali che la funzione $f(x)=\frac{x^2-8 x+24}{a x+b}$ ammetta l'asintoto obliquo di equazione $y=x-5$.
Dimostra che il grafico della funzione così ottenuta è simmetrico rispetto al punto $C(3 ;-2)$.
Esercizio numero 8:
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Livello 1
Testo trascritto:
Determina il valore dei parametri a e b tali che la funzione f(x) = (x^2 - 8x +24)/(ax + b). ammetta l asintoto obliquo di equazione y = x - 5
Dimostra che il grafico della funzione così ottenuta é simmetrico rispetto al punto C(3;-2)
y = (x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b)
y = x - 5 asintoto obliquo con m=1 e q =-5
per x--->∞ deve risultare:
(x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b)·(1/x) = m
LIM((x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b)·(1/x) = 1/a = m
x---> ∞
(x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b) - 1/a·x = q
LIM((x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b) - 1/a·x) = - (8·a + b)/a^2 =q
x----> ∞
Quindi:
{1/a = 1
{- (8·a + b)/a^2 = -5
soluzione: [a = 1 ∧ b = -3]
funzione iperbole non equilatera:
y = (x^2 - 8·x + 24)/(x - 3)
Il centro dell'iperbole è in figura:
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Genius II
@lucianop il secondo limite, quello = q, non riesco ad ottenere la soluzione…
puoi mostrarmi i passaggi di quel limite?
Intendo quello che dovrebbe risultare - (8·a + b)/a^2 =q
Grazie mille comunque 🙂
Con riferimento al 2° limite:
(x^2 - 8·x + 24)/(a·x + b) - 1/a·x =
=((24·a^2 + 8·a·b + b^2)/(a^2·(a·x + b)) + x/a - (8·a + b)/a^2) - 1/a·x =
=(24·a^2 + 8·a·b + b^2)/(a^2·(a·x + b)) - (8·a + b)/a^2
Ora, per x----> ∞
Il primo termine (in grassetto) tende a 0 e rimane il secondo addendo (quanto mi hai richiesto). Ciao. Buona giornata.
Anzitutto ti clicko un cuoricino in segno di gratitudine per la trascrizione copia/incollabile direttamente, senza ridicoli inserti in LaTeχ.
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La funzione
* f(x) = y = (x^2 - 8*x + 24)/(a*x + b)
ha i seguenti limiti d'interesse per il problema
* lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞/sgn(a)
* lim_(x → (-b/a)-) f(x) = - ((24*a^2 + 8*a*b + b^2)/a^3)*∞
* lim_(x → (-b/a)+) f(x) = + ((24*a^2 + 8*a*b + b^2)/a^3)*∞
* lim_(x → + ∞) f(x) = ∞/a
* lim_(x → ∞) f(x)/x = 1/a = m
* lim_(x → ∞) f(x) - x/a = - (8*a + b)/a^2 = q
quindi ha l'unico asintoto obliquo
* r ≡ y = m*x + q ≡ y = x/a - (8*a + b)/a^2 ≡ y = (x - 8)/a - b/a^2
---------------
Per far sì che
* r ≡ y = m*x + q ≡ y = (x - 8)/a - b/a^2 ≡ y = x - 5
occorre avere
* (1/a = 1) & (- (8*a + b)/a^2 = - 5) ≡
≡ (a = 1) & (b = - 3)
da cui
* f(x) = y = (x^2 - 8*x + 24)/(x - 3)
Verifica al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D%28x%5E2-8*x--24%29%2F%28x-3%29
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Con la trasformazione
* (x = 6 - X) & (y = - 4 - Y)
applicata alla
* f(x) = y = (x^2 - 8*x + 24)/(x - 3)
si ha
* f(6 - X) = - 4 - Y = ((6 - X)^2 - 8*(6 - X) + 24)/(6 - X - 3) ≡
≡ f(X) = Y = (X^2 - 8*X + 24)/(X - 3)
e ciò dimostra che il grafico della funzione così ottenuta è simmetrico (NON "é simmetrico") rispetto al punto C(3, - 2).
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Genius I
