Se la ricerca di una primitiva consiste nel trovare una funzione F(x) che 'ricopra' l'andamento di f(x), perché la matematica rifiuta categoricamente come soluzione una F(x) che sia continua ma non derivabile in un punto (punto angoloso)? Se io scelgo un valore di a (ad esempio a=5), posso comunque raccordare i due rami della primitiva tramite le costanti C1 e C2, ottenendo una funzione F(x) perfettamente definita e continua su tutto R Anche se in x=0 la pendenza non è unica (punto angoloso), la funzione esiste e la sua pendenza coincide con f(x) in ogni altro punto. Escludere questa soluzione solo perché 'la definizione di primitiva richiede la derivabilità in ogni punto' non è una convenzione arbitraria? Qual è la necessità logica che impedisce a una funzione con una 'punta' di essere considerata la primitiva di una funzione con un 'salto'?
Nel tuo esempio con $a=5$ si ha che $f_1(x)=(x+5)\cos x$, per $x \leq 0$, e che $f_2(x)=\cos^2 x$ per $x>0$.
Le primitive sono $F_1(x)=\int f_1(x) dx =x \sin x + \cos x + 5 \sin x +c_1$ e $F_2=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c_2$.
Adesso si vogliono far coincidere i due rami in $x=0$, quindi $F_1(0)=F_2(0) \implies 1+c_1=c_2$, ossia $c_1=c_2-1$.
Le due primitive da te trovate sono quindi
$F_1(x)=x \sin x + \cos x + 5 \sin x +c_2-1$
e $F_2(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c_2$.
Per definizione questa funzione è continua in $x=0$, ma non è derivabile in tale punto dato che la sua derivata è tale che $f_1^-(0)=5 \neq f_2^+(0)=1$ (punto angoloso).
Il problema qui è relativamente piccolo dato che non si hanno comportamenti troppo strani (vedi la funzione di Dirichlet), ma in generale?
Il teorema fondamentale del calcolo integrale asserisce:
Sia $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua (quindi integrabile secondo Riemann) su tutto $[a, b]$ e sia $\phi: [a, b] \to \mathbb{R}$ la funzione integrale $\phi (x) := \int_a^x f(t) dt$. Vale allora che $\phi'(x)=f(x)$ per ogni $x \in (a, b)$.
Intanto si nota subito che $f(x)$ DEVE essere continua (in generale) per ottenere il risultato, però è anche vero che ciò si può "arginare" (in realtà indebolisci il TFCI rendendolo adatto a funzioni continue a tratti) partizionando il dominio di integrazione, quindi al momento tralasciamo questo dettaglio. (additività dell'integrale di Riemann sugli intervalli)
Il problema è nel fatto che per definizione di derivata, una funzione continua può non essere derivabile e quindi, sempre in generale, la funzione $\phi' (x)$ potrebbe non essere definita (limite del rapporto increementale) in tale punto, ciò è un bel problema dato che non si avrebbe la definizione esatta di antiderivata in un intervallo, ma solamente a tratti o "quasi ovunque".
Complimenti per la domanda, credo tu sia pronto per affrontare gli integrali di Lebesgue dato che trattano questa questione 😉 (dovresti prima vedere qualcosina di teoria della misura, su alcuni testi di analisi matematica per ingegneria o fisica dovresti trovare il minimo indispensabile per comprenderli senza perderti in argomenti troppo astratti).
Escludere questa soluzione solo perché 'la definizione di primitiva richiede la derivabilità in ogni punto' non è una convenzione arbitraria?
Nessuno la esclude ma non si chiama primitiva.
In generale data una funzione f(x) integrabile secondo Riemann, la funzione
$ F(x) = \int_{x_0}^ x f(t) \, dt $
e detta funzione integrale di f(x). Queste funzioni godono delle proprietà che hai descritto (a volte ammettono punti angolosi, sono continue anzi Lipsitziane, etc.).
Un sotto-insieme di tali funzioni gode di eccezionali proprietà. Questo è quanto afferma il teorema fondamentale del calcolo integrale (Newton - Leibnitz)
SE f(x) è continua allora:
F(x) è derivabile
F'(x) = f(x)
$ \int_{x_0}^ x f(t) \, dt = F(x) - F(x_0) $
quest'ultima ci permette di calcolare le aree sottese a funzioni continue senza applicare la definizione di integrale di Riemann. Fu una vera rivoluzione nel campo della matematica.
Ma se sono così importanti vogliamo dargli un nome? Furono battezzate con il nome di primitive.
